Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 67

Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.

67. ∫ - 1 2 3 x 2 - 2 x + 1 d x

Passo 1

Então pessoal, para estimarmos o valor dessa integral definida como um limite de uma soma de Riemann, precisamos, assim como discutido na seção 3 do George, definir partições P que subdividem o intervalo [ a ,   b ] em n subintervalos de largura igual a:

∆ x = b - a n

∆ x = 2 - ( - 1 ) n = 3 n

Se fizermos as partições, teremos:

P = - 1 ,   - 1 + 3 n ,   - 1 + 2 . 3 n ,   …   ,   - 1 + n . 3 n

Sendo assim, temos:

c k = - 1 + 3 k n

Passo 2

Agora que já descobrimos as partições e o valor de c k , basta substituirmos na soma de Riemann, que é a seguinte:

S n = ∑ k = 1 n f c k . ∆ x

Substituindo os valores encontrados, teremos:

S n = ∑ k = 1 n 3 - 1 + 3 k n 2 - 2 - 1 + 3 k n + 1 . 3 n

Então pessoal, a partir daqui o que temos é apenas matemática básica, tudo bem? Fazendo as devidas simplificações e lembrando que a somatória está em função de k , podemos fazer o seguinte:

S n = 3 n ∑ k = 1 n 3 - 18 k n + 27 k 2 n 2 + 2 - 6 k n + 1

S n = 18 n ∑ k = 1 n 1 - 72 n 2 ∑ k = 1 n k + 81 n ³ ∑ k = 1 n k ²

A somatória dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . ( n + 1 ) 2

Além disso, a somatória dos quadrados dos n primeiros números naturais positivos é:

S = n . n + 1 . ( 2 n + 1 ) 6

Substituindo na somatória, teremos:

S n = 18 n . n - 72 n 2 . n . n + 1 2 + 81 n 3 . n . n + 1 . ( 2 n + 1 ) 6

S n = 18 - 36 . n + 1 n + 27 . n + 1 . ( 2 n + 1 ) 2 n ²

Passo 3

Agora que determinamos o valor da somatória, temos que à medida que n → ∞ e P → 0 , a expressão da somatória tem o seguinte limite:

S n = 18 - 36 + 27 = 9

∴ ∫ - 1 2 3 x 2 - 2 x + 1 d x = 9

Resposta

∫ - 1 2 3 x 2 - 2 x + 1 d x = 9

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. Se A ( x ) for a área sob o gráfico de uma função contínua não negativa acima de um intervalo [ a ,x ] , então A ( x ) será
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. Se A ( x ) for a área sob o gráfico de uma função contínua não negativa acima de um intervalo [ a ,x ] , então A ' ( x ) = f
Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x )=x 2 . Se se
Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x )=x 2 . Se se
Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x )=x 2 . Se se