Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 25

Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.

y = ln ⁡ 1 + x 3

Passo 1

Vamos relembrar qual a regra de Simpson, ok?

∫ a b f ( x )   d x = Δ 3 [   f x 0 + 4 f x 1 + 2   f x 2 + 4   f x 3 + ⋯ + 2   f x n - 2 + 4   f x n - 1 + f x n

Com Δ = b - a    

No nosso caso, a integral que desejamos calcular é

L =   ∫ 0 2 π   1 + d y d x 2   d x

Primeiro, vamos achar a derivada da função

Passo 2

Pela regra do produto,

y ' = 1 1 + x 3 ⋅ 3 x 2   ⇒ 1 + d y d x 2 =     1 + 3 x 2 1 + x 3 2

Substituindo,

L =   ∫ 0 5       1 + 9 x 4 1 + x 3   d x  

Isso nos diz que

f x = 1 + d y d x 2 =   1 + 9 x 4 1 + x 3

Passo 3

Usando Simpson com n = 10 , temos que

Δ x = 5 - 0 10 = 1 2

Sendo assim, temos que nossos pontos são

x 1 = 0 ; x 2 = 0,5 ; x 3 = 1 ; x 4 = 1,5 ; x 5 = 2 ; x 6 = 2,5 ; x 6 = 3 + x 8 = 3,5 ;   x 9 = 4 ,   x 10 = 4,5

Substituindo,

L ≈ 1 2 3   f 0 + 4   f 0,5 + 2 f 1 + 4 f 1,5 + 2   f 2 + 4   f 2,5 + 2 f 3 + 4 f 3,5 + 2 f 4 + 4 f 4,5 + f 5 ≈ 7,094570

Usando a calculadora,

L =   ∫ 0 5   1 + d y d x 2   d x ≈   7 ,   118819

Resposta

Por Simpson   L ≈ 7,094570 pela calculadora L ≈ 7 ,   118819

y = ln ⁡ 1 + x 3

y ' = 1 1 + x 3 ⋅ 3 x 2

1 + d y d x 2 =     1 + 3 x 2 1 + x 3

L = ∫ 0 5   f x   d x  

f x = 1 + 9 x 4 1 + x 3 =   1 + x cos ⁡ x + s e n   x 2

∫ 0 5   f x   d x  

n = 10

Δ x = 5 - 0 10 = 1 2

L ≈ S 10 = 1 2 3   f 0 + 4   f 0,5 + 2 f 1 + 4 f 1,5 + 2   f 2 + 4   f 2,5 + 2 f 3 + 4 f 3,5 + 2 f 4 + 4 f 4,5 + f 5 ≈ 7,094570

A integral calculada por uma calculadora é 7 ,   118819

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ 2 = 1 1 + sen 2 ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 1 - sen ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = tg ⁡ θ ,- π 2θπ 2
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 2
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = cos ⁡ 3 θ