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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 4

(a)Escreva uma integral para área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y .(b) Use o recurso de integração numérica de sua calculadora para calcular as áreas da superfície com precisão de quatro casas decimais.

x = l n ⁡ ( 2 y + 1 ) ,     0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Vamos resolver o item a) primeiro, beleza?

Precisamos encontrar a área da superfície em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y . Temos que a fórmula

S = ∫   2 π y   d s ,  

onde d s = 1 + d y d x 2 d x .

Vamos resolver a primeira parte, ou seja, i)

x = ln ⁡ 2 y + 1

e x = e ln ⁡ 2 y + 1

e x = 2 y + 1

e x - 1 = 2 y  

y = e x - 1 2

d y d x = e x 2

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + e 2 x 4     d x

Sendo assim, a integral que corresponde a área da superfície rotacionada em relação ao eixo x é

S = ∫   2 π y   d s = ∫ 0 l n 2     π ( e x - 1 ) 1 + e 2 x 4     d x  

Passo 2

Resolvendo ii), a integral que corresponde a área da rotação em relação ao eixo y

S = ∫   2 π x   d s =   ∫ 0 l n 2     π x 1 + e 2 x 4     d x    

Passo 3

Resolvendo o item b), ou seja, usando a calculadora, temos que

S = ∫ 0 l n 2     π ( e x - 1 ) 1 + e 2 x 4     d x   =   1,2470

E,

S = ∫ 0 l n 2     2 π x 1 + e 2 x 4     d x   =   1,9425

Resposta

S x =   1,2470

S y = 1,9425

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