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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 26

Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.

y = e - x 2

Passo 1

Vamos relembrar qual a regra de Simpson, ok?

∫ a b f ( x )   d x = Δ 3 [   f x 0 + 4 f x 1 + 2   f x 2 + 4   f x 3 + ⋯ + 2   f x n - 2 + 4   f x n - 1 + f x n

Com Δ = b - a    

No nosso caso, a integral que desejamos calcular é

L =   ∫ 0 2 π   1 + d y d x 2   d x

Primeiro, vamos achar a derivada da função

Passo 2

Pela regra da cadeia,

y ' = e - x 2 ⋅ - 2 x =   - 2 x e - x 2   ⇒ 1 + d y d x 2 =     1 + - 2 x e - x 2 2

Substituindo,

L =   ∫ 0 2     1 + - 2 x e - x 2 2   d x  

Isso nos diz que

f x = 1 + d y d x 2 =     1 + - 2 x e - x 2 2

Passo 3

Usando Simpson com n = 10 , temos que

Δ x = 2 - 0 10 = 1 5

Sendo assim, temos que nossos pontos são

x 0 = 0 ; x 1 = 1 5 ; x 2 = 2 5 ; x 3 = 3 5 ; x 4 = 4 5 ; x 5 = 1 ; x 6 = 6 5 x 7 = 7 5 ;   x 8 = 8 5 ,   x 9 = 9 5 ; x : 10 = 2  

Substituindo,

L ≈ 1 2 3   f 0 + 4   f 1 5 + 2 f 2 5 + 4 f 3 5 + 2   f 4 5 + 4   f 1 + 2 f 6 5 + 4 f 7 5 + 2 f 8 5 + 4 f 9 5 + f 2 ≈ 2 , 108108

Usando a calculadora,

L =   ∫ 0 2   1 + d y d x 2   d x ≈   2 ,   280525

Resposta

Por Simpson   L ≈ 2,108108   pela calculadora L ≈ 2 ,   280525

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