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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.7 - Ex. 12

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado.

∫ 0 1 s e n x 3 d x ,   n = 10

Passo 1

Para solucionarmos a questão, no trapézio, precisamos calcular o ∆ x . A regra do Trapézio é dada por

∫ a b f ( x ) d x ≈ T n = ∆ x 2 [ f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + … + 2 f ( x n - 1 ) + f ( x n ) ]

Onde:

∆ x = b - a n

Para o ponto médio, temos que

∫ a b f ( x ) d x ≈ M n = ∆ x [ f x - 1 + f x - 2 + … + f x - n ]

Onde: x - i = 1 2 ( x i - 1 + x 1 ) .

Para a regra de Simpson,

∫ a b f x d x ≈ S n = ∆ x 3 [ f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + … + 2 f x n - 1 + 4 f x n - 1 + f x n ]

Passo 2

Fazendo para a regra do trapézio, temos

∆ x = 1 - 0 10

∆ x = 1 10

Logo, ∆ x = 1 10 .

Aplicando na integral,

T 10 = 1 10 × 2 [ f 0 + 2 f 0,1 + 2 f 0,2 + 2 f 0,3 + 2 f 0,4 + 2 f 0,5 + 2 f 0,6 + 2 f 0,7 + 2 f 0,8 + 2 f 0,9 + f ( 1 ) ]

T 10 ≈ 0,235205

Para o ponto médio, temos que

M 10 = 1 10 [ f 0,05 + f 0,15 + f 0,25 + f 0,35 + f 0,45 + f 0,5 5 + f 0,65 + f 0 , 7 5 + f 0 , 8 5 + f 0,9 5 + ]

M 10 ≈ 0,233162

Para a regra de Simpson, fazemos novamente seguindo o modelo,

S 10 = 1 10 × 3 [ f 0 + 4 f 0,1 + 2 f 0 , 2 + 4 f 0,3 + 2 f 0,4 + 4 f 0 , 5 + 2 f 0,6 + 4 f 0 , 7 + + 2 f 0 , 8 + 4 f 0 , 9 + f 1 ]

S 10 ≈ 0,233810

Resposta

T 10 ≈ 0,23520 5 , M 10 ≈ 0,233162 e S 10 ≈ 0,233810

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