Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.2 - Ex. 16
Derive:
16)
Passo 1
Fala aí, pessoal.
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função
E para questões desse tipo, o ideal é sempre ter atenção as características da função que queremos derivar. Analisando direitinho qual o tipo de função que temos, vamos poder encontra a regra de derivação mais adequada.
Para o caso dessa função, observe que ela é formada por uma divisão entre duas funções. Podemos pensar nela como sendo:
Onde
E
Para encontrar a derivada dessa divisão entre funções devemos utilizar a Regra do Quociente. que ocorre da seguinte maneira
Bom, agora que já sabemos que regra usar, vamos aplicar tudo isso no passo a passo. Vem comigo!
Passo 2
Para fazermos nossa derivação, vamos aplicar a regra do quociente. Nela precisaremos das funções que chamamos de e e também de suas derivadas. Então vamos procurar essa derivada primeiro e depois aplicar tudo na regra. Beleza?
Vamos começar com:
Lembrando que a derivada de é igual a , ficamos com:
E para
Podemos abrir o quadrado da diferença, ficando com:
E aplicando a derivação pela regra do expoente, teremos:
Agora podemos juntar tudo isso e aplicar na regra do quociente substituído cada coisa que encontramos.
Passo 3
Derivando , temos
Substituindo:
Fazendo a multiplicação distributiva
E arrumando os sinais e reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:
Vamos manipular um pouquinho isto aqui:
E o denominador pode ser escrito como:
E finalizando com a simplificação do termo , teremos:
Prontinho, essa é nossa resposta final.