Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 22
Encontre a integral indefinida geral.
Passo 1
Opa, bora calcular essa integral aqui:
Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples!
Mas o que é a integração por substituição?
Lembra que a integral é a operação contraria da primitiva? Então temos que ela deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:
Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma e encontramos sua primitiva.
A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:
Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável tal que . Isso significa que .
Substituindo essas expressões na integral, obtemos:
A integral agora é muito mais simples de resolver, pois é uma função direta de . Após integrar em relação a , obtemos .
Finalmente, substituímos de volta por para obter a resposta na variável original .
Uma dica legal pra escolher quem vai ser o é pensar:
“o que, que, se eu substituir por vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”
Nesse caso temos:
Então bora calcular!
Passo 2
Como definimos
Vamos calcular , que a derivada de :
Repara que o já esta na nossa integral original! Quando a gente substituir vamos poder cortar e a nossa integral vai ficar toda em função de !
Substituindo:
Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!
Passo 3
Para resolver ela vamos aplicar a primitiva da potência:
Então ficamos com:
Agora voltamos para , então:
Prontinho!
