Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.7 - Ex. 17

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)

∫ 0 3 1 1 + y 5 d y , n = 6

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 3 , e vamos usar n = 6 , e com f x = 1 1 + y 5 temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 3 - 0 6 = 1 2

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 6 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f 1 2 + 2 f 2 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 2 + 2 f 5 2 + f 3 = 1 2 ∙ 1 2 f 0 + 2 f 1 2 + 2 f 2 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 4 2 + 2 f 5 2 + f 3 ≈ 1,064275

    Passo 2

  2. Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 6 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    3. M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 6 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1 4 + f 3 2 + f 5 4 ∙ ∙ ∙ + f 9 4 + f 11 4 1 2 ≈ 1,067416

    Passo 3

  3. Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 6 = f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 2 2 + 4 f 3 2 + 2 f 4 2 + 4 f 5 2 + f 3 ∆ x 3 = f f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 2 2 + 4 f 3 2 + 2 f 4 2 + 4 f 5 2 + f 3 1 3 . 1 2 ≈ 1,074915

Resposta

  1. T 6 ≈ 1,064275
  2. M 6 ≈ 1,067416
  3. S 6 ≈ 1,074915
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aproxime a integral usando a regra de Simpson S 10 e compare sua resposta com aquela produzida por algum recurso computacional provido de integração numérica. Expresse suas respostas com pelo menos qu
Aproxime a integral usando a regra de Simpson S 10 e compare sua resposta com aquela produzida por algum recurso computacional provido de integração numérica. Expresse suas respostas com pelo menos qu
Aproxime a integral usando a regra de Simpson S 10 e compare sua resposta com aquela produzida por algum recurso computacional provido de integração numérica. Expresse suas respostas com pelo menos qu
O valor exato da integral dada é π (confira). Aproxime a integral usando a a aproximação M 10 pelo ponto médio, b a aproximação trapezoidal T 10 e c a aproximação S 20 pela regra de Simpson usando a F
O valor exato da integral dada é π (confira). Aproxime a integral usando a a aproximação M 10 pelo ponto médio, b a aproximação trapezoidal T 10 e c a aproximação S 20 pela regra de Simpson usando a F