Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 33
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
Bora desenhar o gráfico da função:
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Simetria ímpar:
E periodicidade:
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Nossa função é:
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Essa é uma função seno ao cubo. Como o seno é definido para qualquer valor de real.
Assim, temos que:
Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .
Assim, temos para o eixo :
Ou seja, a função cruza o eixo em
Podemos começar a colocar os pontos na curva. Vamos pegar :
Perceba que já encontramos o nosso intercepto que ocorre em .
Passo 3
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Tomando temos:
, então é periódica com período .
Dessa forma, podemos analisar essa função entre e depois repetir o seu comportamento para os demais intervalos igualmente espaçados.
Verificando simetria ímpar temos:
Logo como a função obedece o caso ii e iii, é uma função ímpar e periódica.
Passo 4
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
Assíntota horizontal:
Temos:
Isso ocorre pois uma função periódica não possui limite quando seu argumento tende a infinito.
Logo, não há assíntotas horizontais.
Como a função é definida em todo o domínio, não há descontinuidades e portanto não há assíntotas verticais.
Passo 5
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .
Derivando temos:
Como é sempre positivo, quem irá ditar o sinal dessa derivada é o cosseno, portanto:
Então, é crescente em e decrescente em .
Passo 6
Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.
Podemos também analisar a função visto que já definimos no passo anterior os pontos em que ela cresce e decresce, logo podemos observar que a função terá seu ponto de máximo para
e ponto de mínimo para
Passo 7
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando .
Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
Colocando em evidência, para podermos fatorar:
Usando que
temos:
Avaliando o sinal dessa segunda derivada temos:
O fator será positivo quando:
E o fator será positivo quando:
Multiplicando por em ambos os lados da inequação e com isso trocando o sinal da desigualdade temos:
Portanto,
Então se considerarmos como o ângulo onde , temos que:
E que
Sendo assim podemos fazer o seguinte estudo de sinais:
Quando
Temos que e , logo e a função é côncava para baixo.
Quando
Temos que e , logo e a função é côncava para cima.
Quando
Temos que e , logo e a função é côncava para baixo.
Quando
Temos que e , logo e a função é côncava para cima.
São pontos de inflexão os pontos:
Passo 8
Por fim, esboçando a curva obtemos:
Os pontos em azul são os pontos de máximo e mínimo e os pontos em preto são as interseções com os eixos (e também pontos de inflexão – mudança de concavidade).
Resposta
Resposta nos passos
