Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

Nossa função é:

O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Essa é uma função seno ao cubo. Como o seno é definido para qualquer valor de real.

Assim, temos que:

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .

Assim, temos para o eixo :

Ou seja, a função cruza o eixo em

Podemos começar a colocar os pontos na curva. Vamos pegar :

Perceba que já encontramos o nosso intercepto que ocorre em .

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.

Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.

Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando temos:

, então é periódica com período .

Dessa forma, podemos analisar essa função entre e depois repetir o seu comportamento para os demais intervalos igualmente espaçados.

Verificando simetria ímpar temos:

Logo como a função obedece o caso ii e iii, é uma função ímpar e periódica.

Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:

Assíntota horizontal:

Temos:

Isso ocorre pois uma função periódica não possui limite quando seu argumento tende a infinito.

Logo, não há assíntotas horizontais.

Como a função é definida em todo o domínio, não há descontinuidades e portanto não há assíntotas verticais.

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .

Derivando temos:

Como é sempre positivo, quem irá ditar o sinal dessa derivada é o cosseno, portanto:

Então, é crescente em e decrescente em .

Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.

Podemos também analisar a função visto que já definimos no passo anterior os pontos em que ela cresce e decresce, logo podemos observar que a função terá seu ponto de máximo para

e ponto de mínimo para

Calcularemos agora a concavidade da função utilizando .

Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

Colocando em evidência, para podermos fatorar:

Usando que

temos:

Avaliando o sinal dessa segunda derivada temos:

O fator será positivo quando:

E o fator será positivo quando:

Multiplicando por em ambos os lados da inequação e com isso trocando o sinal da desigualdade temos:

Portanto,

Então se considerarmos como o ângulo onde , temos que:

E que

Sendo assim podemos fazer o seguinte estudo de sinais:

Quando

Temos que e , logo e a função é côncava para baixo.

Quando

Temos que e , logo e a função é côncava para cima.

Quando

Temos que e , logo e a função é côncava para baixo.

Quando

Temos que e , logo e a função é côncava para cima.

São pontos de inflexão os pontos:

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Os pontos em azul são os pontos de máximo e mínimo e os pontos em preto são as interseções com os eixos (e também pontos de inflexão – mudança de concavidade).