Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 62
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo , ache uma equação para a assíntota oblíqua.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
Domínio
Nossa função está definida em todos os pontos, exceto em .
Dessa forma, nosso domínio é o conjunto de números reais exceto .
Passo 3
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre quando .
Nossa função não intercepta o eixo , pois não possui solução real.
Passo 4
Simetria
Não há simetria no gráfico.
Passo 5
Assíntotas
O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite
Dessa forma, em temos uma assíntota vertical.
Resolvendo o limite
Então, é a equação da assíntota oblíqua.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos
Então para ,quando e quando
,
então está crescendo em e , e decrescendo em
Passo 7
Valores de máximo e mínimo locais
A função tem seu máximo local para e mínimo local para
Passo 8
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
Dessa forma, como para e para então possui
concavidade para cima em e concavidade para baixo em .
Não há ponto de inflexão
Passo 9
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva
Resposta
