Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 23
- Use o Teorema da Diferença Constante (4.8.3) para mostrar que, se em cada do intervalo , e se e têm o mesmo valor em algum ponto , então em cada de .
- Use o resultado de (a) para confirmar a identidade trigonométrica .
Passo 1
(a) O teorema da diferença constante diz que se duas funções e são diferenciáveis num intervalo e (como no enunciado), podemos dizer que , onde é uma constante.
O enunciado quer que a gente parta dessa informação para provar que se e tem algum ponto em comum, significa que elas são iguais.
Passo 2
Vamos olhar com carinho essa relação dada pelo Teorema. Se
E isso acontece para todos os valores de . Para qualquer , teremos o mesmo .
Agora pensa comigo: se para um , temos
Ou seja, . Se isso acontece para um valor de , pelo teorema, isso vai acontecer para todos os valores de , porque o valor de é sempre o mesmo.
O que implica em:
Passo 3
(b) Vamos usar o Teorema para provar que faz sentido.
Comparando essa relação com a equação do teorema:
A gente só tem que provar que para todos os valores de , .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Ih, olha só, as derivadas são iguais. Então essa relação realmente faz sentido.
Resposta
prova nos passos