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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 29

  1. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que

    2. y - x < y - x 2 x

    Se 0 < x < y .

  2. Use o resultado de (a) para mostrar que, se 0 < x < y , então x y < 1 2 x + y .

(a média aritmética é maior que a média geométrica)

Passo 1

(a) Precisamos usar o Teorema do Valor Médio:

f ' c = f b - f a b - a

Para provar a inequação do enunciado. Vem comigo!

Passo 2

Considerando que x e y pertencem ao mesmo domínio I , podemos escrever que para um valor c ,   que também pertence a I , o teorema do valor médio pode ter essa carinha:

f ' c = f y - f x y - x

Jogando y - x para o lado esquerdo:

f ' c y - x = f y - f ( x )

Se considerarmos f x = x :

y - x = f ' ( c ) ( y - x )

Está bem parecido com aquela inequação, né? Vamos fazer uma manobra agora. Segura firme. Não conseguimos dizer quem exatamente é f ' ( c ) , porque esse valor varia com c , mas conseguimos descobrir um limitande superior para essa. Vamos chamar ele de M ,   e tentar achar ele:

M > f ' ( c )

f ' c = 1 2 c

Sabemos que c deve estar entre x e y , então entre x , y e c , x é o menor valor, que vai maximizar a derivada, porque ele está no denominador. Podemos escrever:

f ' c < 1 2 x

Por isso:

y - x = f ' c y - x < y - x 2 x

y - x < y - x 2 x

Passo 3

(b) A gente já provou que y - x < y - x 2 x

Jogando o x para o lado esquerdo multiplicando:

y x - x < y - x 2

Jogando o x para o lado direito somando:

y x < x + y 2

Ufa! Deu certo!

Resposta

Prova nos passos

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