Enunciado

3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

7. ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Precisamos usar o teste da integral nessa série aqui

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

E verificar se nossa série é divergente ou convergente. E agora? Você lembra desse teste? A ideia é trocar n por x e integrar! E os limites?

Como nossa série começa em n = 1 e vai pra infinito, x precisa acompanhar, assim

1 ≤ x ≤ ∞

Tranquilo? Se esse limite convergir, significa que a série associada também converge!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Chamando f x = x x 2 + 1 , para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ x x 2 + 1 d x

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x x 2 + 1 d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 3

Resolvendo a integral primeiro, teremos:

∫ 1 t x x 2 + 1 d x

E como integramos isso? Temos x 2 + 1 e também no integrando x d x , então temos uma forma de relacionar um pedaço do integrando com sua derivada! Isso só pode ser: substituição simples!

Passo 4

Chamando u = x 2 + 1 , teremos que d u = 2 x d x . Se substituirmos esses resultados na integral em questão, obteremos:

1 2 ∫ 1 t d u u = 1 2 ln ⁡ u t 1 = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) t 1

∴ ∫ 1 t x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ t 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ 2

Avaliando o limite:

lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ t 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ 2 = ∞

Sendo assim, a conclusão é de que a a série diverge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1   é   d i v e r g e n t e

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9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.18. ∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.25. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³ ³