Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 7
3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
7.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Precisamos usar o teste da integral nessa série aqui
E verificar se nossa série é divergente ou convergente. E agora? Você lembra desse teste? A ideia é trocar por e integrar! E os limites?
Como nossa série começa em e vai pra infinito, precisa acompanhar, assim
Tranquilo? Se esse limite convergir, significa que a série associada também converge!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!
Passo 2
Chamando , para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!
Passo 3
Resolvendo a integral primeiro, teremos:
E como integramos isso? Temos e também no integrando , então temos uma forma de relacionar um pedaço do integrando com sua derivada! Isso só pode ser: substituição simples!
Passo 4
Chamando , teremos que . Se substituirmos esses resultados na integral em questão, obteremos:
Avaliando o limite:
Sendo assim, a conclusão é de que a a série diverge.