Euler também descobriu a soma da série p com p = 4 :

ζ 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90

Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.

b)

  ∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4

Passo 1

E aí, pessoal? Tudo bem?

Vamos começar entendendo o caminho que vamos seguir para resolver essa questão:

Queremos a soma da série:

∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4

Mas perceba que já temos o valor da soma de uma série parecida com esse formato:

ζ 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90

De início pode ser que seja difícil identificar essa semelhança, mas fazendo algumas manipulações será mais fácil de enxergar isso. Ou seja, vamos facilitar nossa vida e manipular nossa série até conseguirmos relacionar com essa outra cuja soma já é conhecida.

Bora, então!

Passo 2

Então galera, a primeira coisa que devemos fazer é reescrever essa série que nos foi dada com esse denominador alterado! Para utilizarmos a informação que o enunciado nos cede, tem que aparecer k 4 no denominador, não é mesmo?

Sendo assim, vamos calcular os primeiros termos da série no formato que temos por enquanto, começando com k = 5 :

∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = 1 3 4 + 1 4 4 + 1 5 4 + …

Percebe que temos uma soma de termos com denominador k 4 , começando de k = 3 ?

Dessa forma, podemos escrever:

∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = ∑ k = 3 ∞ 1 k 4

Temos o valor da série para k = 1 , então se quisermos o resultado para k = 3 , basta subtrairmos os valores de k = 2 e k = 1 , saca só:

∑ k = 3 ∞ 1 k 4 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 - 1 1 4 - 1 2 4

Substituindo o valor da série dada lá no enunciado:

∑ k = 3 ∞ 1 k 4 = π 4 90 - 17 16

Então voltando a nossa série original, temos por fim:

∴ ∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = π 4 90 - 17 16

Resposta

∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = π 4 90 - 17 16

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