Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 35b
Euler também descobriu a soma da série com :
Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.
b)
Passo 1
E aí, pessoal? Tudo bem?
Vamos começar entendendo o caminho que vamos seguir para resolver essa questão:
Queremos a soma da série:
Mas perceba que já temos o valor da soma de uma série parecida com esse formato:
De início pode ser que seja difícil identificar essa semelhança, mas fazendo algumas manipulações será mais fácil de enxergar isso. Ou seja, vamos facilitar nossa vida e manipular nossa série até conseguirmos relacionar com essa outra cuja soma já é conhecida.
Bora, então!
Passo 2
Então galera, a primeira coisa que devemos fazer é reescrever essa série que nos foi dada com esse denominador alterado! Para utilizarmos a informação que o enunciado nos cede, tem que aparecer no denominador, não é mesmo?
Sendo assim, vamos calcular os primeiros termos da série no formato que temos por enquanto, começando com :
Percebe que temos uma soma de termos com denominador , começando de ?
Dessa forma, podemos escrever:
Temos o valor da série para , então se quisermos o resultado para , basta subtrairmos os valores de e , saca só:
Substituindo o valor da série dada lá no enunciado:
Então voltando a nossa série original, temos por fim: