Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 25
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.
25.
Passo 1
Para determinarmos se essa série converge ou diverge teremos que utilizar o Teste da Integral, tudo bem? Temos que . Para essa função temos que aplicar a integral em um intervalo em que a função seja contínua, positiva e decrescente. No nosso caso isso ocorre em . Dessa forma, nossa integral será:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!
Passo 2
Antes de resolvermos a integral, temos que simplificar o argumento, pois não é possível resolver a integral do jeito em que ela está apresentada! Uma maneira interessante é utilizarmos frações parciais. Para isso, teremos que escrever o denominador como um produto, e isso é bem tranquilão, né? Saca só:
Fazendo MMC, teremos:
Fazendo uma análise dos graus e dos coeficientes, teremos:
Da segunda equação podemos tirar que e da terceira equação podemos tirar que , logo, podemos escrever nossa da seguinte maneira:
Passo 3
Ufa! Depois de todo esse trabalho, agora sim vamos resolver essa bendita integral, se liga:
Para a primeira integral, temos que:
Para a segunda integral, temos que:
Para a terceira integral, temos que:
Sendo assim, teremos:
Por fim, aplicando o limite, teremos:
Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.