Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 18
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.
18.
Passo 1
Para determinarmos se essa série converge ou diverge teremos que utilizar o Teste da Integral, tudo bem?
O Teste da Integral traz que se for uma função contínua, positiva e decrescente em
e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Lembrando que é o que chamamos de Integral Imprópria, que a gente pode simplificar por:
Passo 2
Temos que:
Para essa função temos que aplicar a integral em um intervalo em que a função seja contínua, positiva e decrescente. No nosso caso isso ocorre em . Dessa forma, nossa integral será:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!
Passo 3
Antes de resolvermos a integral, temos que simplificar o argumento, pois não é possível resolver a integral do jeito em que ela está apresentada! Uma maneira interessante é utilizarmos frações parciais. Para isso, teremos que escrever o denominador como um produto, e isso é bem tranquilão, né? Saca só:
Fazendo MMC, teremos:
Fazendo uma análise dos graus e dos coeficientes, teremos:
Resolvendo a segunda equação podemos tirar que . Substituindo na primeira equação, teremos:
Dessa forma, podemos escrever nossa da seguinte maneira:
Passo 4
Ufa! Depois de todo esse trabalho, agora sim vamos resolver essa bendita integral, se liga:
Como está no denominador e tem grau 1, sabemos que o resultado dessa integral terá dois , não é mesmo? Dessa forma:
Por fim, aplicando o limite, teremos:
Sendo assim, a conclusão é de que a a série diverge.