Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 12

Utilize a fórmula de Taylor para encontrar uma aproximação

quadrática de ex sen y na origem. Calcule o erro na aproxima-

ção se |x| ≤ 0,1 e |y| ≤ 0,1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para encontrar as aproximações quadráticas f ( x , y ) = e x seny perto da origem. Estimaremos o erro também, sabendo que:

| x | ≤ 0,1 | y | ≤ 0,1

Vamos lá!

Passo 2

Começaremos pela função dada, encontrando as derivadas parciais de f x , f y , f x x , f x y , f y y Acompanhe!

f x = e x s e n ⁡ y f y = e x c o s ⁡ y f x x = e x s e n ⁡ y f x y = e x c o s ⁡ y f y y = e x s e n ⁡ y

Passo 3

Temos, então, que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática, veja:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0 + x ⋅ 0 + y ⋅ 1 + 1 2 x 2 ⋅ 0 + 2 x y ⋅ 1 + y 2 ⋅ 0 f ( x , y ) = y + x y

Já para o cálculo do erro, começaremos encontrando as seguintes derivadas parciais:

f x x x = e x s e n ⁡ y f x x y = e x c o s ⁡ y f x y y = - e x s e n ⁡ y f y y = - e x c o s ⁡ y

Passo 4

Como | x | ≤ 0,1 , então:

e x s e n ⁡ y ≤ e 0,1 s e n ⁡ 0,1 ≈ 0,11 e x c o s ⁡ y ≤ e 0,1 c o s ⁡ 0,1 ≈ 1,11

O erro será então:

E ( x , y ) ≤ 1 6 ( 0,11 ) ( 0,1 ) 3 + 3 ( 1,11 ) ( 0,1 ) 3 + 3 ( 0,11 ) ( 0,1 ) 3 + ( 1,11 ) ( 0,1 ) 3 E ( x , y ) ≤ 0,000814

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem. f ( x , y ) = e x c o s ⁡ y
Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem. f ( x , y ) = 1 1 - x - y
Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem. f ( x , y ) = 1 1 - x - y + x y
Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem. f ( x , y ) = c o s ⁡ x 2 + y 2