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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 10

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.

f ( x , y ) = 1 1 - x - y + x y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem para encontrar as aproximações quadráticas de cúbicas de f perto da origem. Observe a função e acompanhe!

f ( x , y ) = 1 1 - x - y + x y

Passo 2

Começaremos para função dada encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y .

f x = 1 - y ( 1 - x - y + x y ) 2 f y 1 - x ( 1 - x - y + x y ) 2 f x x = 2 ( 1 - y ) 2 ( 1 - x - y + x y ) 3 , f x y = 1 ( 1 - x - y + x y ) 2 f y y = 2 ( 1 - x ) 2 ( 1 - x - y + x y ) 3

Passo 3

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática, veja:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 1 + x ⋅ 1 + y ⋅ 1 + 1 2 x 2 ⋅ 2 + 2 x y ⋅ 1 + y 2 ⋅ 2 f ( x , y ) = 1 + x + y + x 2 + x y + y 2

Passo 4

Para aproximação cúbica precisaremos das seguintes derivadas parciais:

f x x x   = 6 ( 1 - y ) 3 ( 1 - x - y + x y ) 4 f x x y   = [ - 4 ( 1 - x - y + x y ) + 6 ( 1 - y ) ( 1 - x ) ] ( 1 - y ) ( 1 - x - y + x y ) 4 f x y y   = [ - 4 ( 1 - x - y + x y ) + 6 ( 1 - x ) ( 1 - y ) ] ( 1 - x ) ( 1 - x - y + x y ) 4 f y y   = 6 ( 1 - x ) 3 ( 1 - x - y + x y ) 4

Passo 5

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação cúbica, repare:

f ( x , y ) ≈  quadrática  + 1 6 x 3 f x x x ( 0,0 ) + 3 x 2 y f x x y ( 0,0 ) + 3 x y 2 f x y y ( 0,0 ) + y 3 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 1 + x + y + x 2 + x y + y 2 + 1 6 x 3 ⋅ 6 + 3 x 2 y ⋅ 2 + 3 x y 2 ⋅ 2 + y 3 ⋅ 6 f ( x , y ) = 1 + x + y + x 2 + x y + y 2 + x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3

Resposta

Resposta nos passos.

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