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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 61

Utilize as identidades (10) e (13) para obter a identidade (17).

Passo 1

Para você não ter que voltar as páginas do seu livro, as identidades (10), (13) e (17) são essas aqui:

a r c sec ⁡ ( x ) = a r c cos ⁡ 1 x ,     ( 10 )

s e n a r c cos ⁡ x = 1 - x 2 ,     ( 13 )

s e n a r c sec ⁡ x = x 2 - 1 x ,     ( 17 )

Passo 2

Belezinha, vamos começar essa busca pela identidade (13):

a r c sec ⁡ ( x ) = a r c cos ⁡ 1 x

Aplicando a função s e n nos dois lados da igualdade, temos que:

s e n a r c sec ⁡ x = s e n a r c cos ⁡ 1 x

Passo 3

Mas nós sabemos que pela identidade (13):

s e n a r c cos ⁡ α = 1 - α 2

Então,

s e n a r c sec ⁡ x = 1 - 1 x 2

s e n a r c sec ⁡ x = 1 - 1 x 2

s e n a r c sec ⁡ x = x 2 - 1 x 2  

s e n a r c sec ⁡ x = 1 x 2 × ( x 2 - 1 )

Tirando o termo 1 x 2 da raiz, temos que:

s e n a r c sec ⁡ x = 1 x x 2 - 1

s e n a r c sec ⁡ x = x 2 - 1 x

Aplicando o módulo no denominador:

s e n a r c sec ⁡ x = x 2 - 1 | x |

Portanto, chegamos partindo das identidades (10) e (13) na identidade (17).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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