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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 4

Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula (8) : D_x [cosh^(- 1) u] = (1)/(sqrt(u^2 - 1)) D_x u , u > 1

Passo 1

Temos que:

cosh^(- 1) x = ln (x + sqrt(x^2 - 1)) , x >= 1

Se derivarmos o lado direito dessa equação vamos achar a derivada do cosseno hiperbólico.

Para essa derivada temos que ir com bastante calma usando as regras da cadeia direitinho.

Primeiro, vamos trocar x por u (x) , e para não emborar tudo vamos colocar so u .

cosh^(- 1) u = ln (u + sqrt(u^2 - 1)) , x >= 1

Vamos lá:

(cosh^(- 1) u)^' = (ln (u + sqrt(u^2 - 1)))^'

Pela regra da cadeia, e lembrando que

(ln x)^' = (1)/(x)

Teremos:

(cosh^(- 1) u)^' = (1)/(u + sqrt(u^2 - 1)) (u + sqrt(u^2 - 1))^'

Passo 2

Vamos para a outra parte da derivada

(u + sqrt(u^2 - 1))^' = u^' + (sqrt(u^2 - 1))^'

Vamos fazer a derivada daquela raiz separadamente

(sqrt(u^2 - 1))^'

Primeiro, vamos escrever essa raiz como potência

sqrt(u^2 - 1) = (u^2 - 1)^((1)/(2))

Voltando para a derivada

(sqrt(u^2 - 1))^' = ((u^2 - 1)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (u^2 - 1)^(- (1)/(2)) . (u^2 - 1)^' = (2 u . u^')/(2 (u^2 - 1)^((1)/(2))) = (u . u^')/((u^2 - 1)^((1)/(2))) .

Então teremos:

(u + sqrt(u^2 - 1))^' = u^' + (sqrt(u^2 - 1))^' = u^' + (u . u^')/((u^2 - 1)^((1)/(2))) = u^' + (u . u^')/(sqrt(u^2 - 1))

Passo 3

(cosh^(- 1) u)^' = (1)/(u + sqrt(u^2 - 1)) (u^' + (u . u^')/(sqrt(u^2 - 1)))

Podemos colocar o u^' em evidência

(cosh^(- 1) u)^' = (1)/(u + sqrt(u^2 - 1)) (1 + (u)/(sqrt(u^2 - 1))) u^'

Igualando os denominadores dentro do parênteses

(cosh^(- 1) u)^' = (1)/(u + sqrt(u^2 - 1)) ((sqrt(u^2 - 1) + u)/(sqrt(u^2 - 1))) u^'

Simplificando sqrt(u^2 - 1) + u , vamos encontrar

(cosh^(- 1) u)^' = (1)/(sqrt(u^2 - 1)) u^'

Passo 4

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D_x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D_x [cosh^(- 1) u] = (1)/(sqrt(u^2 - 1)) D_x u

A expressão usada para derivar tinha u >= 1 , como o u ficou no denominador, ele não pode ser 0

u^2 - 1 = 0 -> u = +- 1

Então aquele intervalo fica

u > 1

Como ele pediu para provar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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