Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula |11| : Dx[sech^(-1) u] = -(1 / (u \* raiz(u^2 - 1))) \* Dx u , 0 < u < 1

Passo 1

Primeiramente, temos que acha uma expressão melhor para a secante hiperbólica inversa.

sech - 1 ⁡ x = y

x = sech ⁡ y

Teremos

x = 1 cosh ⁡ y

cosh ⁡ y = 1 x

y = cosh - 1 ⁡ 1 x

Então

sech - 1 ⁡ x = cosh - 1 ⁡ 1 x

E podemos derivar direto usando a regra da cadeia.

sech - 1 ⁡ u = cosh - 1 ⁡ 1 u

Passo 2

Lembrando que:

cosh - 1 ⁡ u ' = 1 u 2 - 1 u '

Com u > 1 , como temos 1 u no lugar, vai ficar:

1 u > 1

u < 1

Além disso, como 1 u > 1 temos

1 u > 1 > 0 ⇒ u > 0

Teremos

0 < u < 1

sech - 1 ⁡ u ' = cosh - 1 ⁡ 1 u ' = 1 1 u 2 - 1 1 u '

sech - 1 ⁡ u ' = cosh - 1 ⁡ 1 u ' = 1 1 u 2 - 1 - 1 u 2 u '

Arrumando aquela raiz:

1 u 2 - 1 = 1 u 2 - 1 = 1 - u 2 u 2 = 1 - u 2 u 2

Como u é positivo, u 2 vai dar u

1 - u 2 u

sech - 1 ⁡ u ' = cosh - 1 ⁡ 1 u ' = 1 1 - u 2 u - 1 u 2 u ' = - 1 u 1 - u 2 u '

Passo 3

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D x sech - 1 ⁡ u = - 1 u u 2 - 1 D x u

Como já vimos, com 0 < u < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados