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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 7

Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula (11) : D_x [sech^(- 1) u] = - (1)/(u sqrt(u^2 - 1)) D_x u , 0 < u < 1

Passo 1

Primeiramente, temos que acha uma expressão melhor para a secante hiperbólica inversa.

sech^(- 1) x = y

x = sech y

Teremos

x = (1)/(cosh y)

cosh y = (1)/(x)

y = cosh^(- 1) (1)/(x)

Então

sech^(- 1) x = cosh^(- 1) (1)/(x)

E podemos derivar direto usando a regra da cadeia.

sech^(- 1) u = cosh^(- 1) (1)/(u)

Passo 2

Lembrando que:

(cosh^(- 1) u)^' = (1)/(sqrt(u^2 - 1)) u^'

Com u > 1 , como temos (1)/(u) no lugar, vai ficar:

(1)/(u) > 1

u < 1

Além disso, como (1)/(u) > 1 temos

(1)/(u) > 1 > 0 => u > 0

Teremos

0 < u < 1

(sech^(- 1) u)^' = (cosh^(- 1) (1)/(u))^' = (1)/(sqrt(((1)/(u))^2 - 1)) ((1)/(u))^'

(sech^(- 1) u)^' = (cosh^(- 1) (1)/(u))^' = (1)/(sqrt(((1)/(u))^2 - 1)) (- (1)/(u^2)) u^'

Arrumando aquela raiz:

sqrt(((1)/(u))^2 - 1) = sqrt((1)/(u^2) - 1) = sqrt((1 - u^2)/(u^2)) = (sqrt(1 - u^2))/(sqrt(u^2))

Como u é positivo, sqrt(u^2) vai dar u

(sqrt(1 - u^2))/(u)

(sech^(- 1) u)^' = (cosh^(- 1) (1)/(u))^' = (1)/((sqrt(1 - u^2))/(u)) (- (1)/(u^2)) u^' = - (1)/(u sqrt(1 - u^2)) u^'

Passo 3

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D_x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D_x [sech^(- 1) u] = - (1)/(u sqrt(u^2 - 1)) D_x u

Como já vimos, com 0 < u < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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