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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 2

Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula (3) : tgh^(- 1) x = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , |x| < 1

Passo 1

Vamos começar fazendo:

y = tgh^(- 1) x

Dessa forma,

x = tgh y

Lembrando que

tgh y = (e^y - e^(- y))/(e^y + e^(- y))

Vamos chegar na expressão

x = (e^y - e^(- y))/(e^y + e^(- y))

Passo 2

Vamos resolver essa equação exponencial, buscando o valor de y .

x = (e^y - e^(- y))/(e^y + e^(- y))

x = (e^y - (1)/(e^y))/(e^y + (1)/(e^y))

Fazendo e^y = a , vamos ter:

x = (a - (1)/(a))/(a + (1)/(a))

x = ((a^2 - 1)/(a))/((a^2 + 1)/(a))

x = (a^2 - 1)/(a^2 + 1)

x a^2 + x = a^2 - 1

a^2 (1 - x) = x + 1

a^2 = (x + 1)/(1 - x)

a = +- sqrt((x + 1)/(1 - x))

Passo 3

Agora vamos fazer

a = e^y

São duas equações:

e^y = + sqrt((x + 1)/(1 - x))

e^y = - sqrt((x + 1)/(1 - x))

Mas aquela segunda nunca vai ter solução, isso porque não existe valor de y que deixa a exponencial negativa.

Então vamos ter;

e^y = sqrt((x + 1)/(1 - x))

Aplicando logaritmo natural dos dois lados

ln e^y = ln (sqrt((x + 1)/(1 - x)))

y = ln (sqrt((x + 1)/(1 - x)))

Lembrando que:

sqrt((x + 1)/(1 - x)) = ((x + 1)/(1 - x))^((1)/(2))

Vamso ter

y = ln (((x + 1)/(1 - x))^((1)/(2)))

Usando as propriedades de log

y = (1)/(2) ln ((x + 1)/(1 - x))

Como fizemos y = tgh^(- 1) x , vamos ter

tgh^(- 1) x = (1)/(2) ln ((x + 1)/(1 - x))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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