Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula 3 : tgh^(-1)(x) = 1 / 2 \* ln((1+x) / (1-x)) , |x| < 1

Passo 1

Vamos começar fazendo:

y = tgh - 1 ⁡ x

Dessa forma,

x = tgh ⁡ y

Lembrando que

tgh ⁡ y = e y - e - y e y + e - y

Vamos chegar na expressão

x = e y - e - y e y + e - y

Passo 2

Vamos resolver essa equação exponencial, buscando o valor de y .

x = e y - e - y e y + e - y

x = e y - 1 e y e y + 1 e y

Fazendo e y = a , vamos ter:

x = a - 1 a a + 1 a

x = a 2 - 1 a a 2 + 1 a

x = a 2 - 1 a 2 + 1

x a 2 + x = a 2 - 1

a 2 1 - x = x + 1

a 2 = x + 1 1 - x

a = ± x + 1 1 - x

Passo 3

Agora vamos fazer

a = e y

São duas equações:

e y = + x + 1 1 - x

e y = - x + 1 1 - x

Mas aquela segunda nunca vai ter solução, isso porque não existe valor de y que deixa a exponencial negativa.

Então vamos ter;

e y = x + 1 1 - x

Aplicando logaritmo natural dos dois lados

ln ⁡ e y = ln ⁡ x + 1 1 - x

y = ln ⁡ x + 1 1 - x

Lembrando que:

x + 1 1 - x = x + 1 1 - x 1 2

Vamso ter

y = ln ⁡ x + 1 1 - x 1 2

Usando as propriedades de log

y = 1 2 ln ⁡ x + 1 1 - x

Como fizemos y = tgh - 1 ⁡ x , vamos ter

tgh - 1 ⁡ x = 1 2 ln ⁡ x + 1 1 - x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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