Para quais valores de o polinômio tem dois pontos de inflexão? E um ponto de inflexão? E nenhum? Ilustre, fazendo o gráfico de para vários valores de . Como o gráfico varia quando decresce?

Vamos achar a segunda derivada de para achar os pontos de inflexão:

Fazendo a primeira derivada:

Fazendo a segunda derivada:

Vemos que o gráfico de é uma parábola, assim tem duas raízes, assim muda de sinal duas vezes, tendo dois pontos de inflexão.

E isso acontece quando o delta de é positivo, assim:

Temos agora que se:

Aqui temos que é em um ponto, mas não há ponto de inflexão, já que nunca muda de sinal.

E por último:

Aqui nunca troca de sinal, assim não há ponto de inflexão.

Aqui temos a ilustra��ão, fazendo o gráfico de para vários valores de :

Para positivos muitos grandes de , o gráfico de tem dois pontos de inflexão e um grande mergulho a esquerda no eixo .

A medida que decresce, o gráfico de se torna mais plano para , e eventualmente o mergulho sobe acima do eixo e então desaparece totalmente, junto com os pontos de inflexão.

Enquanto continua a decrescer, os pontos de mergulho e os pontos d einfelxão reaparecem, a direita da origem.