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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.5 - Ex. 9

Mostre que a mediana do tempo de espera para uma chamada para a companhia descrita no Exemplo 4 é de cerca de 3,5 minutos.

Passo 1

Bom galera, queremos a mediana, certo?

Temos uma fórmula para ela! Que é:

∫ m ∞ f ( x ) . d x = 1 2

Onde a função f é a função probabilidade.

Para um tempo t, maior do que zero, a função probabilidade é dada por:

f x = 0,2 . e - t 5

Sendo assim:

∫ m ∞ 0,2 . e - t 5 . d x = 1 2

Como nós temos o limite superior igual a infinito:

lim x → ∞ ⁡ ∫ m x 0,2 . e - t 5 . d x = 1 2

Tiramos a constante:

lim x → ∞ ⁡ 0,2 . ∫ m x e - t 5 . d x = 1 2

Para resolver esta integral vamos usar a substituição:

u = - t 5

Derivando:

d u = - 1 5 . d t →   - 5 d u = d t

Substituímos:

lim x → ∞ ⁡ 0,2 . ∫ m x e u . ( - 5 ) d u = 1 2

lim x → ∞ ⁡ - ∫ m x e u . d u = 1 2

Resolvendo:

lim x → ∞ ⁡ - e u | x m = 1 2

Substituindo u:

lim x → ∞ ⁡ - e - t 5 | x m = 1 2

Aplicando o intervalo:

lim - x → ∞ ⁡ ( e - x 5 - e - m 5 ) = 1 2

lim - x → ∞ ⁡ ( 1 e x 5 - 1 e m 5 )     = 1 2

Quando temos um x muito grande, nosso denominador será também muito grande e, consequentemente, 1 e x 5 tende a 0:

1 e m 5     = 1 2

Multiplicamos cruzado:

e m 5 = 2

Como precisamos achar a mediana m, vamos aplicar o ln em ambos os lados:

ln ⁡ e m 5 = ln ⁡ 2

m 5 = ln ⁡ 2

Isolando m:

m ≅ 3,47   m i n u t o s

Resposta

3,47   m i n u t o s

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