Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 76
Para que valores de e é (2; 2,5) um ponto de inflexão da curva ? Quais pontos de inflexão adicionais curva tem?
Passo 1
O enunciado nos da uma curva geral:
Aqui não temos nem ou determinados, então essa curva geral representa inifinitas curvas. O que queremos saber é quais curvas tem um ponto de inflexão em . Sabendo disso também vamos precisar descobrir quais pontos de inflexão adicionais curva tem.
Pra responder essa pergunta precisamos saber como reconhecer um ponto de inflexão. Temos que ter:
Além disso precisamos analisar os sinais:
- Se a esquerda e a direita, então temos um ponto de inflexão ascendente.
- Se a esquerda e a direita, então temos um ponto de inflexão descendente.
Sabendo disso, mãos a obra!
Passo 2
Sabemos que o ponto pertence a nossa curva. Então podemos substituir:
Substituindo:
Podemos reescrever assim:
Opa, já temos uma informação aqui! Vamos guardar ela por enquanto
Passo 3
Agora vamos pra analise da derivada segunda, mas antes disso vamos dar uma arrumadinha na equação:
Isolando o :
Vamos encontrar a primeira derivada, usando a regra do quociente:
Reescrevendo:
Calculando a segunda derivada, pela regra do quociente:
Simplificando:
Sabemos que no ponto :
Substituindo:
Para isso devemos ter:
Logo:
Passo 4
Dos passos anteriores temos:
Então:
Substituindo na equação original:
Podemos dar uma arrumadinha:
Ou então:
Passo 5
Para descobrir mais pontos de inflexão temos que voltar a derivada segunda:
Substituindo e :
Para isso deveremos ter:
Ou:
O ponto foi dado, agora vamos averiguar . Pegando um ponto antes e depois:
Como a derivada não muda de sinal não é um ponto de inflexão! Calculando a derivada para :
A derivada muda de sinal entre e então é um ponto de inflexão. Calculando :
Portanto o ponto é .
Ufaaa, acabou!