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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 44

Calcule a integral.

∫ 0 2 2 x - 1 d x

Passo 1

Fala, pessoal 😊! Vamos resolver essa questão juntos?

Precisamos calcular a integral definida

∫ 0 2 2 x - 1 d x .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 0 ,   2 ] e o integrando é a função

f x =   2 x - 1 .

🛠️ Para isso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f x d x = ∫ f x d x a b

    onde ∫ f x d x é a primitiva da função f , ou seja,

    d d x ∫ f ( x ) d x   = f x .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

f x + g x d x =   ∫ f x d x +   ∫ g ( x ) d x .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f x d x = c   ∫ f x d x .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função x n é a função

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

👀 Fica ligado que no próximo passo vamos analisar a função f e entender como ela se comporta no domínio de integração. A partir disso, vamos usar a parte 2 do Teorema Fundamental para resolver essa questão.

Passo 2

Vamos começar entendendo o comportamento da função que está sendo integrada, beleza?

Como a função f é uma função módulo, então vamos ter que

f x = 2 x - 1 > 0

apenas quando

x > 1 2 .

Logo,

  • f x = 2 x - 1   no intervalo 1 2 ,   2 .

  • f x = 1 - 2 x   no intervalo 0 , 1 2 .

Com isso, podemos separar a integral definida que estamos querendo calcular

∫ 0 2 2 x - 1 d x ,

em duas novas integrais da seguinte forma:

∫ 0 2 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 2 1 - 2 x   d x + ∫ 1 2 2 2 x - 1 d x .

Assim, precisamos encontrar o valor das duas integrais da direita para resolver essa questão, certo? Fica ligado nos próximos passos pra ver como!

Passo 3

Como

∫ 0 2 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 2 1 - 2 x   d x + ∫ 1 2 2 2 x - 1 d x ,

então usando a Parte 2 do Teorema Fundamental nas integrais da direita teremos que

∫ 0 1 2 1 - 2 x   d x =   ∫ 1 - 2 x   d x 0 1 2

e

∫ 1 2 2 2 x - 1 d x =   ∫ 2 x - 1   d x 1 2 2 .

Dessa forma, precisamos encontrar as integrais indefinidas

∫ 1 - 2 x   d x       e       ∫ 2 x - 1   d x .

Para isso, usamos as propriedades da integral indefinidas dadas no Passo 1 .

Logo,

∫ 1 - 2 x   d x = ∫ 1   d x - 2 ∫ x   d x

e

∫ 2 x - 1   d x =   2 ∫ x   d x - ∫ 1   d x .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos (lembre-se que 1 = x 0 ), temos que

∫ 1 - 2 x   d x = x - x 2 + C 1

e

∫ 2 x - 1   d x =   x 2 - x + C 2 .

Agora que já descobrimos as integrais indefinidas, vamos avaliá-las nos extremos dos respectivos intervalos, ou seja, vamos obter o valores

∫ 1 - 2 x   d x 0 1 2       e       ∫ 2 x - 1   d x 1 2 2 .

Espia só o próximo passo ☺️!

Passo 4

Começamos calculando o valor de

∫ 1 - 2 x   d x 0 1 2 .

Como encontramos que

∫ 1 - 2 x   d x = x - x 2 + C 1 ,

então:

  • Em x = 1 2

    • ∫ 1 - 2 x   d x ​ x = 1 2 = 1 2 - 1 2 2 + C 1 ,

    ou seja,

    ∫ 1 - 2 x   d x ​ x = 1 2 = 1 4 + C 1 .

  • Em x = 0

    • ∫ 1 - 2 x   d x ​ x = 0 = 0 - 0 2 + C 1 = C 1 .

    Dessa forma:

    ∫ 1 - 2 x   d x 0 1 2 = 1 4 + C 1 - C 1 =   1 4 .  

    Agora, vamos calcular o valor de

    ∫ 2 x - 1   d x 1 2 2 .

    Como encontramos que

    ∫ 2 x - 1   d x =   x 2 - x + C 2 ,

    então:

  • Em x = 2

    • ∫ 2 x - 1   d x ​ x = 2 = ( 2 ) 2 - ( 2 ) + C 2

    ou seja,

    ∫ 2 x - 1   d x ​ x = 2 = 2 + C 2 .

  • Em x = 1 2

∫ 2 x - 1   d x ​ x = 1 2 = 1 2 2 - 1 2 + C 2 ,

ou seja,

∫ 2 x - 1   d x ​ x = 1 2 = - 1 4 + C 2 .

Dessa forma:

∫ 2 x - 1   d x 1 2 2 = 2 + C 2 - - 1 4 + C 2 = 9 4 .

No próximo passo, vamos recapitular tudo o que descobrimos e vamos finalizar as contas para obter o valor da integral

∫ 0 2 2 x - 1 d x .

Passo 5

Como

∫ 0 2 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 2 1 - 2 x   d x + ∫ 1 2 2 2 x - 1 d x ,

e vimos que cada integral definida da direita vale

∫ 0 1 2 1 - 2 x   d x = 1 4

∫ 1 2 2 2 x - 1 d x = 9 4 ,

então, temos que a integral procurada vale

∫ 0 2 2 x - 1 d x = 1 4 + 9 4 = 5 2 .

Resposta

A integral vale:

∫ 0 2 2 x - 1 d x = 5 2 .

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