Encontre uma formula explicita para f^(-1) e use para traçar um gráfico f^(-1), f e a linha y = x na mesma tela. Para checar se está correto, veja se os gráficos de f^(-1) e f são refletidos pela linha.

f(x) = raiz(4x + 3)

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa função

f x = 4 x + 3

E pediu para encontrarmos uma fórmula explícita para a função inversa! Vamos relembrar como é esse processo?

Podemos dizer que y = f ( x ) e temos

y = 4 x + 3

Para achar a função inversa precisamos inverter: em vez de escrever y em termos de x , vamos escrever x em função de y ! Isso significa isolar x do lado esquerdo e deixar todo resto do lado direito!

Uma característica legal da função inversa e da original é que se elas forem plotadas no mesmo plano cartesiano, elas serão simétricas em relação à reta y = x

E é exatamente isso que o problema pede no final!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Bom galera, primeiro vamos ver a função dada:

f x = 4 x + 3

Temos que a restrição pra essa função é   x ≥ - 3 / 4 , pois dentro da raiz deve ter um valor maior que zero!

E como a raiz tem coeficiente positivo

y ≥ 0

Beleza?

Agora vamos para a inversa! A ideia é isolar x do lado esquerdo! Nossa função

y = 4 x + 3

Elevando ao quadrado dos dois lados

y 2 = 4 x + 3

Isolando x

x = y 2 - 3 4

Mudando a nomenclatura (onde era x é y e vice-versa):

f - 1 x = x 2 - 3 4

As condições anteriores ainda valem, só lembrar de trocar x por y:

x ≥ 0 ;                 y ≥ - 3 / 4

Passo 3

Agora traçamos o gráfico!

A função

y = 4 x + 3 ( e m   r o s a )

A inversa

f - 1 x = x 2 - 3 4 ( e m   p r e t o )

E ainda a reta

y = x   ( e m   v e r m e l h o )

Note que em torno de y = x as funções f e f - 1 são simétricas! Como havíamos previsto!

Beleza? É isso! Espero ter ajudado!

Resposta

f - 1 x = x 2 - 3 4

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