Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 15
Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.
A raiz positiva de
Passo 1
Fala meu querido!
Nessa questão temos a seguinte equação:
E queremos encontrar a sua raiz, isso é, o valor de para o qual:
De forma que nossa função a qual queremos encontrar a raíz é portanto:
E aqui queremos encontrar a sua raíz positiva.
Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.
Basicamente, nós começamos com um chute inicial para essa raiz.
E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:
O enunciado pede para encontrarmos com uma precisão de seis casas decimais, dessa forma, teremos que ir realizando iterações até que o valor encontrado não se altere até a sexta casa decimal.Dá trabalho? Dá... mas a vida é uma sopa e você tá de garfo :0
Passo 2
No nosso método iterativo temos que:
Dessa forma, precisamos da derivada de
Para achar a derivada de vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:
Vamos calcular :
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para .
Para isso, podemos usar a seguinte estratégia. Queremos que:
Isso é o mesmo que:
O gráfico do seno e o gráfico de são conhecidos, nós teoricamente sabemos esboça-los.
Dessa forma, vamos esboçar ambos os gráficos e verificar em quais pontos eles se encontram, ou seja, em quais pontos .
Esses são também pontos onde , que é o que queremos!
Percebemos que essas funções se encontram em e próximo de .
Como queremos a raíz positiva, vamos procurar por essa raíz próxima de .
Passo 4
Usando , agora é só substituir, vamos lá então:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Resposta
A raiz é .