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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 69

Em um estudo sobre a disseminação do uso de drogas ilícitas de um entusiasta usuário para uma população de N usuários, os autores modelam o número de novos usuários esperados pela equação.

γ = ∫ 0 ∞ c N ( 1 - e - k t )   k e - λ t d t

Onde c , k e λ são constantes positivas. Avalie esta integral expressar em termos de c , N , k e λ .

Passo 1

Bom galera, a gente tem a integral:

γ = ∫ 0 ∞ c N ( 1 - e - k t )   k e - λ t d t

Vamos botar a contante pra fora da integral:

γ = c N k ∫ 0 ∞ 1 - e - k t e - λ t d t

→ γ = c N k ∫ 0 ∞ e - λ t - e - k + λ t   d t

Passo 2

Beleza, com a definição da integral de e , a gente encontra:

γ = c N k ∫ 0 ∞ e - λ t - e - k + λ t   d t

→ γ = c N k lim s → ∞ ⁡ - 1 λ e - λ t - 1 λ + k e - k + λ t + C 0 s

Vamos calcular o limite reparado, lembrando que k e λ são positivos então não alteram sinal:

lim s → ∞ ⁡ - 1 λ e - λ t - 1 λ + k e - k + λ t + C 0 s

= - 1 λ e - λ ( ∞ ) - 1 λ + k e - k + λ ∞ + C - - 1 λ e - λ ( 0 ) - 1 λ + k e - k + λ 0 + C

= 0 - 0 + C - - 1 λ - 1 λ + k + C = k λ λ + k

Passo 3

Show de bola, assim a gente continua com:

γ = c N k lim s → ∞ ⁡ - 1 λ e - λ t - 1 λ + k e - k + λ t + C 0 s

E substituímos o limite:

γ = c N k k λ λ + k

λ = c N λ λ + k

Pronto galera, é isso, mais fácil do que parece, né?

Resposta

λ = c N λ λ + k

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