Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 13
Uma viga uniforme de comprimento está sujeita a uma carga concentrada no ponto . A viga está engastada no seu lado esquerdo e livre no extremo direito. Use a transformada de Laplace para determinar a deflexão a partir da equação
Em que e
Passo 1
E aííí meu colega, como vai?
Aqui temos uma aplicação física de equações diferenciais, onde queremos encontrar a deflexão de uma viga a partir de
Em que e
E bom, para resolver essa >equaçãozinha
Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:
E também pode ser útil a propriedade de translação:
Agora bora lá!
Passo 2
Vamos fazer a transformada da equação:
Sabemos que .
O e a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?
Isolando :
Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, vamo que vamo
Passo 3
Temos
Na primeira fração, temos multiplicando. Ele está representando a função degrau atrasada em beleza? Então, todos os termos da primeira fração que tiverem , vão ter um subtraindo
Além disso, vamos manipular algebricamente as 3 frações para termos algo parecido com a transformada de , que é :
Então temos:
Belezinha, agora ainda falta só mais um pouco, juro juradinho!
Precisamos usar as informações de que e para encontrarmos as constantes e , vamos lá!
Passo 4
Temos
Vamos encontrar e
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Última vez hahahaha:
Agora vamos aplicar e
Passo 5
Temos :
E :
Da segunda equação, temos
Substituindo na primeira:
Isolando :
Então
Agora vamos substituir esse valor lá em ok?
Passo 6
Temos
E temos que é:
Substituindo e :
Colocando em evidência:
Então, analisando de acordo com o comportamento da função degrau no primeiro termo do parênteses, vamos ter
E fimmmmmm