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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 18

Para enfatizar a natureza não usual da função delta de Dirac, mostre que a “solução” para o problema de valor inicial y ' ' + ω 2 y = δ t ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 não satisfaz a condição inicial y ' 0 = 0 .

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' ' + ω 2 y = δ t ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ok?

Aí depois, vamos verificar que na real o y ( t ) não vai satisfazer y ' 0 = 0 HAHAHAH estranho né?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' ' + ω 2 y = δ t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + ω ² Y ( s ) = 1

Sabemos que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 :

s 2 . Y s - s . 0 - 0 + ω ² Y ( s ) = 1

Y s . s 2 + ω 2 = 1

Então:

Y s = 1 s 2 + ω ²

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s 2 + ω ²

Podemos manipular escrevendo assim:

Y s = 1 ω ω s 2 + ω ²

Então temos:

y t = 1 ω . s e n ( ω t )

Showww, agora vamos verificar que isso não cumpre com y ' 0 = 0

Passo 4

Temos

y t = 1 ω . s e n ( ω t )

Derivando:

y ' t = c o s ( ω t )

E aí temos:

y ' 0 = cos ⁡ ω . 0 = 1

Opa, então embora tenhamos utilizado y ' ( 0 ) nas condições iniciais, isso não é verdadeiro para a “solução” :O

Então ta provadooo

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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