Erro do Polinômio de Taylor
Teoria
E aí, você chegou no Responde Aí. E agora vamos entender o Erro do Polinômio de Taylor pra que você não erre na prova!
Uma parte importante do polinômio de Taylor é entender que ele é uma aproximação, e, sendo uma aproximação, tem um erro. Agora ferrou, né? Qual erro do polinômio?
Estimando o Erro do Polinômio de Taylor
Na verdade não podemos achar esse erro, mas podemos estimá-lo com a fórmula:
Onde
A gente sabe que quanto maior a ordem do polinômio, melhor o resultado! O que isso quer dizer é que quanto maior o polinômio, menor o erro.
E é isso que a fórmula diz pra gente! Polinômios de ordem
Exemplo
Determine o erro do polinômio de Taylor de grau 2 da função
Passo 1: Sem perca de tempo, vamos aplicar os valores da primeira e segunda derivada para achar os termos do polinômio:
.
Passo 2: Para calcular o erro vamos aplicar a fórmula. Como o grau do polinômio é dois, então usaremos a terceira derivada no cálculo do erro.
A terceira derivada é
Passo 3: Agora vamos analisar.
Primeiro temos que:
Como a derivada é crescente, então temos:
E isso nos diz que:
Logo:
Ou seja:
E olha que legal. Chegamos numa equação que permite que a gente avalie o erro do polinômio para qualquer valor de
Passo 4: Então agora vamos aplicar
Ou seja, o Erro do Polinômio de Taylor esta no intervalo:
Pra entender melhor, que tal dar uma olhada nesse vídeo que explica tudinho:
Massa! Agora que você é um fera de taylor, que tal conferir uns exercícios aqui em baixo 👇 😎
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hamilton Luiz Guidorizzi, Cálculo Volume 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: 2008, pp. 479-2. MODIFICADO
Utilizando polinômio de Taylor de ordem , avalie o erro.
Passo 1
Podemos considerar a função:
Nessas condições, um bom ponto para aproximar isso aí é o ponto , já que está próximo de .
Para a ordem pedida, o erro estará associado a ordem seguinte:
Passo 2
Para substituir, derivamos 3 vezes:
Substituindo:
Para a distância escolhida:
Passo 3
Temos que , então:
É um erro bem, bem pequeno.
Resposta
Exercício Resolvido #2
USP - Cálculo 1 - P3 2011.1 – 4
Seja , com
Determine o polinômio de Taylor de ordem de em torno do ponto .
Usando o item , calcule um valor aproximado para e para . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que .
Passo 1
Primeiro vamos achar o polinômio de grau da função .
A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem da função :
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:
Passo 2
Agora temos que achar cada termo da função:
Passo 3
O polinômio vai ficar:
Passo 4
Vamos agora ao valor de . Repare que , quando
Então queremos o polinômio em e não em . Fique atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de que devemos usar. Então, vamos fazer:
Passo 5
Vamos agora ao valor de . Repare que quando .
Então queremos o polinômio em e não em :
Passo 6
Vamos calcular o erro possível para isso agora. Primeiro vamos achar o termo do erro. Como temos um polinômio de grau o erro vai ser o termo de ordem :
Para entre e , vamos começar achando a derivada de :
Vamos tomar essa derivada em :
O erro vai ficar:
Passo 7
Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos. Primeiro para :
Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:
Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar:
Vamos pegar aqui apenas o valor maior que é o que nos interessa. Saber que o erro é maior que algo não é tão útil assim.
Multiplicando por :
Como queremos que apareça vamos fazer:
Vamos ter:
Passo 8
Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos. Primeiro para :
Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:
Isso acontece porque temos um valor negativo de :
Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente, a ordem vai mudar:
Vamos pegar aqui apenas o valor maior, que é o que nos interessa.
Queremos um número nessa bagunça ,então repare que:
Então, vamos ter:
Nós queremos um número, porque é mais fácil fazer essas contas com um número. A parada aqui é ir vendo coisas em comum. O objetivo é tentar chegar no bendito .
Multiplicando por :
Como vimos antes, vamos fazer:
Então:
Como queremos que apareça vamos fazer:
Como vimos com potencia negativa essa desigualdade vira: