Conectivos lógicos

FAAAAAALA AÍ! Bora resolver esse exercício, começando pelo começo:

Aqui, nós temos o conectivo “”.

Lembre-se que para uma proposição composta seja verdadeira, quando usamos esse conectivo, precisamos que que as duas proposições sejam verdadeiras. Caso contrário, ela é falsa.

No nosso caso, as duas proposições são:

Mas o número não é par, logo é falsa. Já poderíamos parar aqui e dizer que a proposição composta é falsa, mas vamos continuar só para ficar completinha a resolução.

Além disso, não é primo, já que é divisível por .

Portanto a proposição composta:

É FALSA.

Bora pra próxima!!!

Bora lembrar como sabemos se isso é verdadeiro ou falso?

Quando temos o conectivo “”, a proposição composta é verdadeira se uma das proposições forem verdadeiras. E a proposição composta é falsa se as duas proposições são falsas!

Ora, é verdade que é ímpar, logo é verdadeira.

não é primo, logo é falsa.

Como uma delas é verdade, temos que:

É VERDADEIRA.

Dá uma olhada nessa aqui agora:

Bom, novamente, temos uma proposição composta com o conectivo “”. Bora relembrar:

Quando temos o conectivo “”, a proposição composta é verdadeira se uma das proposições forem verdadeiras. E a proposição composta é falsa se as duas proposições são falsas!

Ora bolas, a primeira proposição está perfeitamente correta. Aliás, é par, então não é verdade que ele é ímpar.

Já poderíamos parar por aqui mesmo e dizer que essa proposição composta é verdadeira, mas vamos analisar a outra proposição só para deixar tudo completinho.

A segunda proposição também é verdadeira, afinal, é divisível por , logo é par.

Portanto, a proposição composta:

É VERDADEIRA.

Se liga nessa agora:

Ai gente, finalmente nos deparamos com “”, já não aguentava mais esses “” hahaha

Lembre-se que para uma proposição composta seja verdadeira, quando usamos o conectivo “”, precisamos que que as duas proposições sejam verdadeiras. Caso contrário, ela é falsa.

Bora dar uma olhada nas nossas proposições:

Então, concorda comigo que é verdadeira? Veja bem, sabemos que é par por ser divisível por , logo, ele não é ímpar.

Agora vamos analisar : é primo, logo, é falsa.

Como não temos as duas proposições verdadeiras (temos uma apenas):

É FALSA.

Bom, você deve estar arrancando os cabelos, depois de ter lido que vai ter que escrever essa galera toda na forma simbólica hahaha

Mas relaxa, vai ser muito divertido resolvermos isso! É como eu sempre digo, vamos começar do começo!

Bom, primeiramente, comecemos com a primeira palavra: “Existe”Na Matemática, essa palavra tem um símbolo associado a ela, que é o .

Agora, vamos olhar para “um número real ”: esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o nosso pertence. Como ele é real temos que:

Maneiroooo! Falta só a expressão “tal que ”. Cara, “tal que” na Matemática pode ser substituído por “” ou “”

Vamos ver como fica:

Na forma simbólica:

Bora pra próxima!!!

A gente acabou de ver como é o símbolo de “Existe”. Mas e como é o símbolo de “Não existe”??? É simples, é só cortar esse :

Maneiro, agora olha a expressão “não existe racional ”: já te falei que esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o pertence. Logo:

Ai que lindo, to amando! Vamos para a próxima e última expressão: “tal que ”

É só substituir o “tal que” por “” ou “”

Assim, ficamos com:

Na forma simbólica:

Se liga nessa:

Gente, mesma coisa que acabamos de ver nesse iniciozinho! Temos o “existe” que substituiremos por .

A expressão “número inteiro ” nos costuma dizer a qual conjunto a variável pertence, então substituiremos por

Agora vamos olhar para o finalzinho da nossa proposição:

Cara, é o seguinte: para ser par, ele precisa ser divisível por . Então vamos reescrever a expressão assim:

Pensa comigo: pra um cara ser divisível por e ao mesmo tempo, ele tem que ser divisível por , que é o produto deles dois. Logo:

E para ser divisível por , ele precisa ser múltiplo de , então ele será igual a vezes algum cara que pode ser qualquer número natural. Então escreveremos assim:

Ficamos com:

Na forma simbólica:

Próxima é essa:

Show! Bora começar com a primeira palavra: “existe”. Ela será substituída por .

A segunda expressão é: “um número inteiro ”. Como já falei, esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto a variável pertence. Então, substituiremos por .

A última expressão é: “tal que é par ou é ímpar”. Esse tal que vamos substituir por “” e para ser par, ele precisa ser múltiplo de .

Para ser ímpar, ele precisa ser escrito na forma .

Então ficamos com:

Na forma simbólica:

Bom, a primeira expressão é “para cada” e ela tem um símbolo associado a ela na Matemática: , que quer dizer “para todo”/ “para cada”/ “para qualquer”.

Próxima expressão: “número real ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável pertence. Assim, temos:

Agora a próxima é: “existe”. Já sabemos, é só substituir por

Mais uma expressão: “um número real ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável pertence. Assim, temos:

Finalmente: “tal que ”. Vamos substituir “tal que” por “”

Ficamos com:

Na forma simbólica:

FAAAAALA AÍ, pequeno gafanhoto! Tu lembra o que é conjunto verdade? É justamente o conjunto que contém os valores da variável que torna a proposição verdadeira!

Dito isso, bora começar pelo começo:

Bom, o enunciado diz que é número natural, então nós vamos considerar apenas os números maiores ou iguais a zero! Dá uma olhada na galera que compõe esse conjunto:

Como o nosso teto é , não custa nada testar cada elemento do conjunto dos naturais para ver quais números obedecem a aquilo.

Pronto! Foi rápido! Então o conjunto verdade é:

Dá uma olhada nessa:

Bom, para ver o conjunto verdade, precisamos ver quais os valores que tornam a proposição verdadeira.

Ora bolas, se temos um produto com três parcelas sendo igual a , quer dizer que ou:

Ou:

Ou:

Ou pode ser os três sendo zero ao mesmo tempo. O importante aqui é perceber que esses são os números que tornam a nossa proposição verdadeira! Portanto, o conjunto verdade é:

Última, porém não menos importante:

Bom, aqui precisamos manipular essas inequações:

Agora a próxima:

Opa! Então estamos procurando por números naturais que sejam maiores que e menores que , já que:

Então o conjunto verdade:

Olá, meu anjo! Você lembra o que são os exemplos ou contraexemplos?

Exemplo é aquele cara que obedeça ao que nossa proposição diz!

Contraexemplo é justamente aquele que não obedece, que faz com que nossa proposição seja falsa! Olha o primeiro item:

Então, um exemplo para verificar nossa expressão é qualquer número REAL que obedeça a aquilo. Pode ser o número , por exemplo, ou , ou qualquer um acima de .

Agora pensando num contraexemplo: o número contradiz aquela inequação pois

A gente poderia simplesmente manipular aquela inequação, dessa forma:

Então aquilo só é verdade para números maiores que . E é falso para números menores ou iguais a .

Tem inúmeros outros, mas selecionei alguns.

Agora dá uma olhada nessa aqui:

Nesse item, precisamos ver quais números naturais obedecem a inequação:

Opa, já começamos achando aquele que não obedece! Ou seja, encontramos um contraexemplo.

Encontramos mais um contraexemplo!

Aeeee, a partir de agora todos os números irão satisfazer! Então:

Bom, é como eu sempre digo, vamos começar do começo!

Essa coisa de negação é meio chata né? Vamos começar passando para a linguagem simbólica, pois eu acho mais fácil de negar quando temos símbolos matemáticos, mas faça do jeito que você preferir!

Passando essa proposição para forma simbólica:

A negação será:

Na negação envolvendo os quantificadores e , o nosso amado “” (tal que) se torna uma vígula.

Agora você imagina (só imagina, porque não é bem isso rs) que tem uma distributiva ali que vai jogar a negação para antes do “tal que” e para depois dele, assim:

Bom, para negar o “existe” é só colocar o “para todo”

E negar uma igualdade, é só colocar uma desigualdade!

Em português:

Percebe que isso soa meio esquisito né? Nessas horas, precisamos ter senso, anjo! Faz muito mais sentido:

Próxima:

Novamente, passando pra linguagem simbólica:

Agora vamos negar tudo isso, lembrando que a negação do é , o “” vira uma vírgula e a vírgula vira um “”:

Em português:

Perceba que novamente é meio estranho. Utilizando o bom senso, escreveríamos:

Se liga nessa belezura agora:

Novamente, passando isso para a forma simbólica:

Vamos negar essa coisa toda agora! Lembrando que a negação de “existe” é “para todo” e a negação de “para todo” é “existe”, o tal que vira uma vírgula e a vírgula vira um tal que:

Em português:

Ou:

Último item, porém, não menos importante:

Vamos passar isso para a forma simbólica:

Agora vamos negar tudo isso, lembrando que a negação de é e a negação de é , o tal que vira uma vírgula e a vírgula vira um tal que:

Vamos fingir que tem uma distributiva:

Agora revolveremos em partes:

Por último:

Opaaaaa! Temos uma negação de uma implicação! Você lembra como é a negação disso? Olha só:

Então no nosso caso:

Juntando tudo:

Em português: