Inequações Polinomiais
Produzido por Erick PinhoTeoria
A gente já conhece as equações polinomiais, mas se você não lembra a cara dela, vai aí um exemplo de como é essa função,
Repara que temos uma igualdade, mas e as inequações?
Quando falamos de inequações não temos mais uma igualdade, assim como nas equações, mas sim uma desigualdade, agora vão aparecer esses símbolos aqui: .
Vamos separar as equações polinomiais de acordo com os seus graus, nesse tópico vamos falar das equações de primeiro e segundo grau
Inequações do 1º grau
Na inequações do 1° grau, o expoente do é 1 e, em geral, vão aparecer do seguinte modo:
Mas vale lembrar que a desigualdade pode ser qualquer uma dessas aqui:
Resolvendo uma inequação de primeiro grau
Para resolver uma inequação de primeiro grau, precisamos encontrar os valores de que satisfazem a condição da inequação e isso é simples de fazer: basta isolar .
Fácil, não? Se a gente traçar a reta no plano cartesiano, teremos:
Como queremos , os valores que satisfazem a inequação são os que estão em laranja na figura acima.
Falta uma coisinha na qual você precisa ficar atento. Se o tiver coeficiente negativo, como em:
Você corretamente fará:
Mas ficará atentando a multiplicar os dois lados por e pode concluir que:
Isso, gafanhoto, está ERRADOOOO!
Ao trocarmos o sinal da inequação invertemos a desigualdade!
Dessa maneira, ao multiplicarmos , obtemos, na verdade:
Essa você já não erra mais ;-)
Inequações do 2º grau
Vamos pensar agora em uma inequação com essa cara aqui:
Já aprendemos como resolver equações e sabemos que as funções do 2º grau sempre formam uma parábola.
Ok, mas por que isso é importante?
Quando temos uma inequação, qualquer que seja ela, estamos interessados em saber aonde ela será positiva ou negativa...
Show, mas como vamos resolver isso?
Vamos nessa!
Passo 1
Encontrar as raízes
Ou seja, vamos encontrar os valores onde a nossa equação é igual a zero. Obs: Não precisa se desesperar, nada mais é do que o processo que fazíamos antes, relaxaaaaa rs
Para a nossa equação de exemplo, teremos:
As raízes para essa equação serão:
Esses são os pontos onde o nosso gráfico encosta no eixo x.
Obs: Quando o valor do for negativa a nossa função será ou toda positiva ou toda negativa. Pois não teremos raízes reais. Ok?
Passo 2
Determinar o crescimento da função
No nosso caso, como , a função será crescente.
Passo 3
Estudo de sinais no gráfico.
Observe um esboço do gráfico de nosso exemplo. (Quando você for fazer, pode ser algo assim também, não há necessidade de um gráfico muito rebuscado, cheio de detalhes).
Show?
Muito bem, agora nós vamos marcar nesse gráfico os lugares onde essa função é positiva e onde ela é negativa. Nada de outro mundo, o que estiver para cima do eixo , é positivo, o que estiver para baixo do eixo , negativo.
Beleza, através dessa imagem, observamos que nossa função é (negativa) para os valores que estão entre 2 e 3.
Para ficar mais “elegante”, vamos escrever nossa solução assim ó:
Também podemos representar essas respostas atráves de intervalos reais, da seguinte forma:
Esses parênteses ou essas chaves vão indicar que não estamos incluindo nem o 2 e nem o 3 na nossa solução. OMG, qual das duas representações eu utilizo?
Fica a cargo do leitor hahahaha
As duas estão corretas, pode usar a que você achar mais bonitinha :D
E se tivéssemos o no lugar do na nossa inequação?
A nossa solução incluiria os valores onde o será igual a 0 (Ou seja, as nossas raízes).
Se tivéssemos a seguinte inequação, por exemplo:
A nossa resposta, seria os valores em que o , ou seja:
Em termos de intervalos reais, teríamos:
Muita atenção, para incluir o um número na resposta, colocamos o colchete virado pro lado onde ele está fechado.
Belezinha?
Agora é só partir para os exercícios =D