Para quaisquer pontos diferentes e que escolhermos, temos sempre valores diferentes de :

Essa é a definição de uma função injetora! Nesse tipo de função, temos que dois valores diferentes de , sempre resultam em valores de diferentes.

Uma função é injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de :

Tivermos:

Função sobrejetora

No gráfico da função abaixo, temos uma parábola:

Repare em um detalhe importante desse gráfico: ele possui um ponto extremo, neste caso, um ponto de mínimo quando .

Isso significa que não importa o valor de que escolhermos, teremos sempre que:

A imagem de , que representa o conjunto de todos os resultados obtidos da função, está limitada a todos os números reais maiores ou iguais a :

Mas temos ainda o contradomínio, que é conjunto de todo os valores de que poderíamos obter na função e que não é limitado, continua sendo o conjunto de todos os números reais:

Vamos olhar outro exemplo, uma função cúbica:

Nela, a função passa por todos os valores de possíveis, ou seja, o conjunto imagem é igual ao contradomínio!

Uma função é sobrejetora se para cada valor de existir ao menos um valor de associado:

Dentro desta definição, a parábola tem, por exemplo não associado a nenhum e, por isso, não é sobrejetora.

Funções bijetoras

Quanto as bijetoras, não há nada de novo a considerar. Chamamos uma função de bijetora se ela for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora!

Um exemplo de função desse grupo é a função cúbica:

Função inversa

Imagine que temos a função:

Neste caso, temos uma função, pois cada valor de está associado a um único valor de , ou seja, é uma função de .

Mas e se, ao invés de representarmos como função de , quiséssemos colocarmos como função de ?

Pra isso, precisaríamos isolar :

Se trocarmos por e por simplesmente para manter a notação usual das funções ficamos com:

Essa função não é uma função qualquer, ela é a função inversa de e pode ter a notação:

Com esse sobrescrito .

Então, é basicamente assim que determinamos uma função inversa, isolando e substituindo por e vice-versa ao final.

Infelizmente, nem tudo são flores e nem toda função tem sua inversa. Vamos ver, por exemplo:

Se tentarmos isolar , obtemos não:

Mas sim:

Esse indica que são geradas duas funções, uma positiva (em azul) e outra negativa (em verde).

Isso acontece, pois, para uma função ser invertível, ou seja, para ter uma função inversa, é necessário ser bijetora.

O primeiro exemplo é de uma função bijetora e por isso, possui inversa, enquanto a parábola do segundo exemplo não é nem injetora, nem sobrejetora, como vimos ao longo desse tópico, por isso, não pode ser invertida usando somente uma função.

Isso é necessário porque uma função inversa também é uma função e, portanto, precisa que cada valor de esteja associado a somente um .

E quando isolamos para achar a inversa, colocamos em função de , então um valor precisa estar sempre associado a somente um valor de , o que não acontece na parábola do nosso exemplo, mas é verdade para todas as funções bijetoras.

Funções inversas relevantes

Falaremos aqui de algumas funções inversas mais conhecidas. Se você não viu algumas dessas funções para as quais traremos a inversa, não tem problema. Agora, se as funções são relevantes para seu estudo, fique atento nas suas respectivas inversas!

Uma propriedade muito útil associada as funções inversas é:

Isso significa que uma função com argumento igual a sua inversa tem como resultado o argumento da inversa.

Como, por exemplo:

É como se as funções inversas se anulassem e sobrasse só o que está lá dentro! E isso vale mesmo quando há uma função como argumento da inversa:

Por exemplo:

Shooow?