Equação De Laplace No Disco

Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:

Fazendo a separação de variáveis:

Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:

Agrupando termos:

E isolando:

Igualando ambas as expressões a uma constante arbitrária:

Agora vamos avaliar quais faixas de valores de são possíveis para a solução. Estudando a equação em , tentamos :

Entretanto, como deve ser -periódica, essa solução só funciona para . Portanto temos:

Testando , fazemos:

Supondo por simplicidade, de forma que . Seguindo:

Que tem equação característica:

Que resulta na solução:

Como essa solução é -periódica para todo , está valendo.

Por fim, testamos . Fazendo:

Plugando na equação:

Que tem equação característica:

Resultando na solução:

Esta solução não é -periódica para quaisquer valores de , portanto concluímos que:

Como para todo a solução trigonométrica funciona, fazendo (por elegância), temos então a autofunção de :

E a solução geral seria:

Substituindo os valores válidos de na equação em , temos para :

Arrumando:

Como buscamos uma solução para todo , a solução não interessa. Segue:

Arrumando mais para podermos integrar:

Integrando ambos os lados:

Pra quem lembra dos macetes de Cálculo 1:

Caso você não tenha sacado, pode resolver de outros jeitos.

Integrando novamente:

Agora analisando a função encontrada, temos que ela não é limitada na região que estamos estudando, pois estamos no interior do círculo , e temos:

Portanto nos resta concluir que:

A solução fica:

Testando a outra faixa possível , fazemos , :

Que é a famosa equação de Euler. Fazendo a solução genérica:

Plugamos:

Como para todos valores de :

As soluções então são:

Como estamos no interior do círculo , precisamos que a função não exploda para infinito em nenhum ponto desta região, logo como:

Concluímos que , portanto temos a autofunção:

Plugando na autofunção geral:

Sem esquecer que temos também a solução constante:

A solução geral portanto fica:

Precisamos agora determinar os coeficientes e . Utilizando a última condição que sobrou do enunciado:

Basta derivar com respeito à e depois fazer e temos:

Como à esquerda temos uma série de Fourier da função , os coeficientes podem ser encontrados pelas fórmulas:

Como a função é -periódica, temos que . Descobrimos os coeficientes:

Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:

Fazendo a separação de variáveis:

Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:

Agrupando termos:

E isolando:

Igualando ambas as expressões a uma constante arbitrária:

E separando também as condições iniciais:

Como a solução é trivial, nós a descartamos. Portanto segue que:

Juntando estes valores com a equação em obtemos:

Para resolver a equação em precisamos considerar as possíveis faixas de valores de . Testando:

Substituindo os valores das condições:

Portanto temos a solução trivial:

Tentando , fazemos:

Para garantir que lambda seja positivo. Além disso, vamos substituir uma solução da forma:

E achar o . Plugando na EDO:

Ou seja, como a equação característica tem raízes complexas, temos que as soluções são da forma:

Naturalmente vamos utilizar a forma da direita por ser mais simples. Substituindo os valores vamos tentar descobrir as constantes:

Show de bola. A função fica:

Agora substituindo a outra:

Agora vejamos, para não cair na solução trivial de novo (), podemos buscar quais resolvem a equação acima. O que equivale à resolver:

Que tem solução:

Portanto, como só nos interessa :

Portanto a nossa solução geral fica:

Testando a gora a última faixa de valores possíveis , fazemos:

Temos que a nossa equação característica fica:

Que resulta em:

Como essa função não é periódica em podemos descartar. Daria no mesmo substituir os valores e chegar na solução trivial:

Resolvendo obtemos . Portanto só existem soluções não triviais para .

Seguindo, podemos voltar à resolver a equação em . Fazendo :

Supomos uma solução da forma;

Substituindo:

Temos:

Pondo em evidência:

Como para todo , temos que:

Ou seja, a solução geral é:

Agora o papo é analisar essa função na região estudada. Como a região é tal que:

Então precisamos garantir que dentro dela a função seja limitada, ou seja, não exploda para infinito. Como temos que:

Concluímos que:

Portanto a solução é:

Plugando na solução mais geral, sabendo que :

Falta nós determinarmos os coeficientes . Sabemos que, pelo enunciado, a informação que ficou sobrando é:

Que significa:

Podemos ver que à esquerda temos uma série de Fourier para a função , portanto os coeficientes são determinados pela fórmula:

Onde é o período da função. Como sabemos que, por estar num semicírculo, ela deve ser -periódica, temos: