Equação De Laplace No Retângulo
Teoria
Fala aí! Hoje vamos aprender sobre a equação de Laplace e sua aplicação em um retângulo.
Tá preparado? Então vem comigo!
⭐ Veja também ⭐
- EDPs gerais - Introdução e Método de Resolução.
- Série de Fourier.
- Métodos de resolução de EDOs de ordem superior.
O que é a Equação de Laplace?
A Equação de Laplace é uma equação diferencial parcial usada em vários ramos da ciência. A fórmula para a equação de Laplace é essa aqui:
Mas como aqui estamos interessados no estudo somente para o retângulo, a equação que vamos usar é essa aqui:
Se você reparar, é a mesma coisa que a anterior, só que abrimos o somatório em duas dimensões (já que estamos falando de um retângulo).
Bora ver como resolver essa parada aí?!
Como resolver a equação de Laplace?
Como de praxe nos problemas de EDPs, o enunciado vai nos fornecer algumas condições de contorno que vão ser determinantes para nossa resolução.
Outro tópico que volta a aparecer também é a resolução de equações diferenciais por separação de variáveis.
Esse conteúdo nós já temos bem explicadinho aqui, então, se tiver precisando de uma revisada, corre lá que eu te espero 😁
Agora, se liga no exemplo:
Exemplo: Resolva
Essas condições de contorno aí são o que descreve o tal do retângulo. Olha só:
Repare como a figura é delimitada por uma condição de contorno em cada um de seus lados.
A ideia desse problema é encontrar a função u(x,y), que é uma superfície que tem as “bordas” fornecidas pelo problema. Daí que surge a ideia da equação de Laplace no retângulo 🙂
Agora, bora resolver esse negócio aí.
Passo 1: Separar as variáveis
Como queremos achar a solução para um plano, procuramos uma solução do tipo:
E essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace.
Passamos tudo que tem
Só que aí surge um detalhe: essa igualdade vale para todo
Como constante aqui eu escolhi
Podemos separar essa igualdade em duas equações:
Olha só! Ficamos com duas EDOs de segunda ordem!
Beleza, vamos juntar todas as informações que temos até agora:
A segunda e quarta condições são encontradas quando aplicamos as condições iniciais do problema em
Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições.
Aqui, o
Isso aí é um problema de Dirichlet homogêneo! As soluções são desse tipo aqui:
Passo 3: Resolver a EDO que falta.
Tá faltando aquele problema em x:
Dessa vez, temos uma EDO de grau 2. Para resolvê-la, usamos o método da equação característica.
As soluções disso aí são:
Agora, a gente tem que lembrar lá da definição de seno e cosseno hiperbólicos:
Com isso, vamos representar a solução da EDO que encontramos da seguinte forma:
Agora, avaliamos
No final de todas as contas, chegamos no seguinte:
Passo 4: Escrever
O
Para encontrar essa
Essa é uma Série de Fourier de senos! Bora fazer uma expansão ímpar de g(x):
Depois de integrar, é só substituir naquela equação anterior:
O resultado será a solução do nosso problema!
Existem outros tipos de problemas, com o x com duas condições de contorno, por exemplo, mas os fundamentos permanecem os mesmos! Só é importante que você sempre resolva o problema com duas condições primeiro!
Segue para a parte de exercícios que te explico cada um dos casos lá, junto com um resuminho bastante útil 😉
Como resolver a equação de Laplace?
Exemplo: Resolva com as condições de contorno propostas abaixo.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 343. Exercício 1 a)
Encontre a solução da Equação de Laplace no retângulo , , que satisfaz as condições de contorno:
Passo 1
Vamos desenhar esse retângulo só para a gente entender melhor:
Essas são as condições que o problema dá.
Passo 2
Beleza, agora vamos fazer, como sempre, a separação de variáveis.
Procuramos uma solução do tipo . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:
Agora nós passamos tudo que tem para um lado e o que tem para o outro:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser iguais a uma constante. Separando em duas equações, temos:
Aplicando a separação de variáveis para as condições homogêneas do problema (a função nós deixamos por último):
Então, temos o seguinte:
Passo 3
Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)
Como a função é a que possui duas condições de contorno, vamos resolver primeiro o problema em , temos:
Temos a seguinte equação característica:
Vamos ver as soluções caso a caso agora.
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Passo 4
Tendo os valores de , resolver a outra EDO
Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:
A equação característica dessa EDO é a seguinte:
Já vimos que , não é? Quando encontramos seu valor no passo anterior. Então, as soluções dessa EDO são do tipo:
Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:
Então, as soluções da EDO em são:
Aplicando a condição :
Chegamos então a:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Como as combinações lineares de também são soluções do problema, temos que:
Agora vamos usar a condição que faltou:.
Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está no colchete! O que depende apenas de (não de ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Repare que o período da extensão é , não . Por isso apareceram esses ’s na integral, tome cuidado. O veio do denominador do seno.
Dessa forma, encontramos os coeficientes da série e substituímos em
Resposta
Onde
Exercício Resolvido #2
UFRJ, Cálculo 4, PF 2014.2, Questão 4
Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado com condições de Neumann:
Onde é uma função infinitamente diferenciável no intervalo
- Determine todas as soluções não triviais de na forma de
- Para que o problema tenha solução é necessário que a integral
Tenha um valor específico. Supondo que existe uma solução do problema, use o formato da solução obtida pelo método de separação de variáveis para descobrir o valor de .
Passo 1
a)
A primeira coisa que temos que fazer é achar a solução do problema
Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então
Substituindo na EDP temos
Agora vamos passar tudo com para um lado e o que tem no outro
Essa igualdade vale para todo e para todo , assim precisa ser uma constante. Podemos separar isso em duas equações
Agora vamos ver as condições do problema,
Então temos
Passo 2
Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser
Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.
Isso nos diz que temos a seguinte equação característica
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
Isso nos dá
Substituindo na segunda equação
E
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
E a nossa solução vai ser
Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim vamos ter
E
Assim vamos ter, pela primeira equação, como
Assim temos
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Como achamos dois casos, vamos ter dois tipos de solução
Passo 3
Tendo os valores de , resolver a outra EDO
Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:
A equação característica dessa EDO é a seguinte:
Temos dois casos para , vamos começar fazendo
Assim
E a solução vai ser
A condição dele vai ser
Derivando vamos ter
Assim
E a nossa solução vai ser
Passo 4
Agora vamos para .
Assim as soluções são do tipo
Com
Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:
Onde usualmente pegamos como a raiz positiva.
Então, as soluções da EDO em são:
Aplicando a condição , precisamos primeiro achar a sua derivada
Assim vamos ter
Assim
Assim temos
Podemos resumir as soluções de
Passo 5
Vamos juntar as soluções de e para termos as soluções de , vamos juntar todas as constantes e chamar de ou , assim vamos ter
Passo 6
b)
Vamos escrever a solução do nosso problema como a combinação linear das , temos que
Vamos usar a última condição que ele deu para ver o que temos. Assim vamos ter
Calculando a derivada em de
Assim temos
Opa achamos a nossa função , ele quer a integral de de a então vamos fazer isso, integrando em de à .
Podemos dar uma arrumada
Resolvendo aquela integral, temos
Lembrando que, para inteiro
Assim
Assim, como essa integral ele chamou de , então
Resposta
a)
b)