Equação De Laplace No Retângulo

Produzido por Carolina Saba
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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre a equação de Laplace e sua aplicação em um retângulo.

Tá preparado? Então vem comigo!

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O que é a Equação de Laplace?

A Equação de Laplace é uma equação diferencial parcial usada em vários ramos da ciência. A fórmula para a equação de Laplace é essa aqui:

Mas como aqui estamos interessados no estudo somente para o retângulo, a equação que vamos usar é essa aqui:

Se você reparar, é a mesma coisa que a anterior, só que abrimos o somatório em duas dimensões (já que estamos falando de um retângulo).

Bora ver como resolver essa parada aí?!

Como resolver a equação de Laplace?

Como de praxe nos problemas de EDPs, o enunciado vai nos fornecer algumas condições de contorno que vão ser determinantes para nossa resolução.

Outro tópico que volta a aparecer também é a resolução de equações diferenciais por separação de variáveis.

Esse conteúdo nós já temos bem explicadinho aqui, então, se tiver precisando de uma revisada, corre lá que eu te espero 😁

Agora, se liga no exemplo:

Exemplo: Resolva com as condições de contorno propostas abaixo.

Essas condições de contorno aí são o que descreve o tal do retângulo. Olha só:

Retângulo delimitado pelas condições de contorno do problema.
Retângulo delimitado pelas condições de contorno do problema.

Repare como a figura é delimitada por uma condição de contorno em cada um de seus lados.

A ideia desse problema é encontrar a função u(x,y), que é uma superfície que tem as “bordas” fornecidas pelo problema. Daí que surge a ideia da equação de Laplace no retângulo 🙂

Agora, bora resolver esse negócio aí.

Passo 1: Separar as variáveis

Como queremos achar a solução para um plano, procuramos uma solução do tipo:

E essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace.

Passamos tudo que tem para um lado e o que tem para o outro:

Só que aí surge um detalhe: essa igualdade vale para todo e para todo . Então, na verdade, essas razões não dependem de nenhuma dessas variáveis! Quer dizer que a gente pode escrever tudo isso igual a uma constante:

Como constante aqui eu escolhi , mas você poderia escolher qualquer outra coisa.

Podemos separar essa igualdade em duas equações:

Olha só! Ficamos com duas EDOs de segunda ordem!

Beleza, vamos juntar todas as informações que temos até agora:

A segunda e quarta condições são encontradas quando aplicamos as condições iniciais do problema em , tranquilo?

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições.

Aqui, o é o cara que tem duas condições.

Isso aí é um problema de Dirichlet homogêneo! As soluções são desse tipo aqui:

Passo 3: Resolver a EDO que falta.

Tá faltando aquele problema em x:

Dessa vez, temos uma EDO de grau 2. Para resolvê-la, usamos o método da equação característica.

As soluções disso aí são:

Agora, a gente tem que lembrar lá da definição de seno e cosseno hiperbólicos:

Com isso, vamos representar a solução da EDO que encontramos da seguinte forma:

Agora, avaliamos :

No final de todas as contas, chegamos no seguinte:

Passo 4: Escrever como série e achar os coeficientes da série.

O que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à EDO em x e à EDO em y. Pela definição de autofunções, múltiplos dessa solução ou combinações lineares também devem satisfazer às EDOs.

Para encontrar essa que apareceu aí, vamos usar a condição que esquecemos até agora: .

Essa é uma Série de Fourier de senos! Bora fazer uma expansão ímpar de g(x):

Depois de integrar, é só substituir naquela equação anterior:

O resultado será a solução do nosso problema!

Existem outros tipos de problemas, com o x com duas condições de contorno, por exemplo, mas os fundamentos permanecem os mesmos! Só é importante que você sempre resolva o problema com duas condições primeiro!

Segue para a parte de exercícios que te explico cada um dos casos lá, junto com um resuminho bastante útil 😉

Como resolver a equação de Laplace?

Exemplo: Resolva com as condições de contorno propostas abaixo.

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