Modelagem com Equação da Onda
Teoria
Introdução
Nas outra teorias nós vimos a Equação da Onda, algumas variações dela e como resolver a EDP. Agora, nós vamos ver a modelagem.
Diferente das modelagens que nós vimos em EDO as de EDP não são tão variadas. A Equação da Onda é uma EDP bem específica para os casos que nós estudamos e não tem como fugir muito disso. A diferença da modelagem é que o problema não vai mais nos dar as equações bonitinhas pra resolver, nós vamos ter que achá-las.
Pode ficar bem tranquilo que isso é bem moleza. Como já tá bem dominado resolver a equação quando ela já tá arrumada, nessa teoria nós vamos só ensinar como chegar nas equações e vamos deixar a prática de resolução para os exercícios.
Vamos pegar um exemplo pra extrair as equações e depois eu dou uns bizus de frases chave que aparecem em problemas como esses.
Modelagem com Equação da Onda
Vamos pegar o seguinte exercício
Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com velocidade inicial .
A primeira coisa que temos que carregar no bolso é a EDP da equação de onda.
Temos que lembrar também que é uma função de duas variáveis, . A primeira coisa que ele fala é o comprimento da corda, isso vai ser aquele das equações.
Logo depois ele diz que as extremidades são mantidas fixas. Isso quer dizer que a nossa função não vai variar em e em qualquer tempo.
Ele diz que a posição inicial é mantida na posição de equilíbrio e com isso a gente tira a seguinte equação:
A última equação ele disse que a velocidade inicial é definida pela função e a gente tem que lembrar que isso quer dizer aquela equação.
O nosso sistema fica assim.
Esse exemplo já cobriu a maioria das frases clássicas de modelagem de equação de onda. Outras coisas comuns dele falar é que uma extremidade está solta, se essa extremidade for a extremidade isso vai implicar na seguinte equação.
Uma coisa comum seria ele definir a função da posição inicial. Vamos supor que ele diga que a posição inicial é definida pela função , disso a gente tira a seguinte equação:
Bem moleza né? Agora é só praticar.
Modelagem com Equação da Onda
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 337. Exercício 1 a)
Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial .
Encontre o deslocamento para a posição inicial
Passo 1
Primeiro, precisamos montar o problema. Temos a equação de onda:
A posição inicial
Como as extremidades são fixas, temos:
Como a velocidade inicial é zero:
Passo 2
Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 3
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em ´:
Bom, isso é um problema de Diriclhet homogêneo, não é? Beleza, já mencionamos a solução desse problema na teoria desse capítulo, agora vamos resolver passo a passo.
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 4
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
Fazendo
Temos então:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfazem o problema, então vamos escrever:
Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de ’s.
Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: . Fazendo , temos:
Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Onde é dada por:
Certo, precisamos dividir essa integral em duas:
Integrando por partes, temos:
Certo, agora vamos substituir isso na nossa série:
Resposta
Exercício Resolvido #2
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 337. Exercício 9 adaptado
Encontre o deslocamento de uma corda elástica de comprimento fixa em e solta em , colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da sua posição inicial , onde é uma função dada.
Passo 1
Primeiro, precisamos montar o problema. Temos a equação de onda:
A posição inicial
Como a extremidade é fixa:
Como a extremidade é solta, temos:
Como a velocidade inicial é zero:
Passo 2
Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 3
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em ´:
Ok, esse problema não é nenhum conhecido, temos condições mistas, não é? Sem problemas, vamos resolver passo a passo isso aqui!
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:
Como não sabemos o valore de , temos que analisar o problema para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.
Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Aqui temos o mesmo raciocínio:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Bom, temos novamente apenas a solução trivial, não é? Vamos para o próximo caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.
Isso ocorre quando:
Substituindo, temos a seguinte solução
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 4
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
Fazendo
Temos então:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfaz o problema, então vamos escrever:
Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de ’s.
Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: . Fazendo , temos:
Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Resposta
Onde
Exercício Resolvido #3
UFRJ, Cálculo 4, P2 2013.1, Questão 3
Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas no mesmo nível horizontal de modo que o eixo esteja ao longo da corda. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com velocidade inicial dada por
Considere a razão da tensão pela densidade de massa da corda como sendo constante igual a ().
- Encontre o deslocamento vertical usando a expressão geral da solução da equação de onda partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial não nula.
- Mostre que o deslocamento é uma função periódica de período na variável .
Passo 1
Letra a)
Primeiro, precisamos montar o problema. Temos a equação de onda:
A posição inicial é a de equilíbrio, portanto:
Já que o comprimento da barra é , temos
Como as extremidades são fixas, temos:
A velocidade inicial é dada
Passo 2
Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 3
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em :
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 4
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
Fazendo
Temos então:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Temos que
Agora vamos usar a condição que faltou:.
Fazendo :
Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está nos colchetes! O que depende apenas de (não de ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Onde
Agora vamos resolver a integral!
Agora vamos fazer a integração por partes:
Pronto, esse negócio enorme aí é o ! Agora é só substituir na série
Passo 6
Letra b)
Bom, para verificar que uma função é periódica, temos que mostrar que ela se repete, não é? Se o período da função (segundo o enunciado) é , isso quer dizer que de em seu valor se repete, vamos mostrar isso.
Vamos ignorar a variável porque a questão trata apenas na periodicidade em , ok? Faremos primeiro
Agora vamos “andar” na variável
Andando mais :
Isso quer dizer que a cada intervalo de tempo de , a corda tem deslocamento vertical zero, ou seja, ela volta à sua posição de equilíbrio. Isso mostra que o deslocamento vertical segue um período na dimensão do tempo.
Você poderia mostrar a periodicidade da função começando em outro ponto, como por exemplo. Isso daria só um pouquinho mais de trabalho!
Resposta
Onde