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Equação Da Onda

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Teoria

Fala aí! Hoje nós vamos aprender um pouquinho mais sobre equações de onda.

Só pra não fazermos confusão, aqui não teremos interesse naquela ondulatória que vemos lá no Ensino Médio não, viu? Na verdade, vamos trocar uma ideia sobre aplicações de equações diferenciais parciais!

Então, já prepara o psicológico aí e vem comigo!

⭐ Veja também ⭐

O que é uma Equação Diferencial Parcial (EDP)?

Equações Diferenciais Parciais são estudadas na sequência de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Elas envolvem funções de várias variáveis independentes e suas derivadas, como esse exemplo bonitinho aqui:

$$\begin{cases}u_t=u_{xx}-2u_x, & 00\ u(0,t)=u(L,t)=0,&t>0\ u(x,0)=f(x), & 0

Esse tipo de problema surge naturalmente em problemas de física, matemática e engenharia, pois podem descrever diversos fenômenos reais. Um deles, nós veremos logo em seguida 🌊😉

Pra resolver a EDP, nós vamos utilizar o método de separação de variáveis. Mas esse conteúdo nós já temos bem explicadinho aqui, então, se tiver precisando de uma revisada, corre lá que eu te espero 😁

Qual é a Equação da Onda?

Para descrevermos uma onda em função das variáveis tempo t e posição x, tal como essa aqui:

A onda é descrita por uma função da posição e do tempo.
A onda é descrita por uma função da posição e do tempo.

Vamos usar a seguinte equação:

é a função usada para encontrar a amplitude da corda em qualquer ponto de tempo e espaço, e geralmente é o que queremos encontrar por meio dos métodos que veremos logo à frente.

Aquele termo é a derivada segunda da função da onda em relação ao tempo, isso equivale à aceleração da corda, ou às forças aplicadas na corda.

O é uma constante, que costuma ser fornecida pelo enunciado.

Por fim, o é a derivada segunda em relação à posição e está relacionado com a deformação da corda!

Como resolver a Equação da Onda?

Para resolver uma equação como a descrita ali em cima, precisamos de alguns dados iniciais. São eles:

Equação diferencial da onda

Como aquela que vimos anteriormente 👉

Condições de contorno

É algo do tipo:

Nesse exemplo aí, as condições de contorno tão dizendo que a altura no ponto inicial e no ponto final em qualquer intervalo de tempo é sempre 0.

Velocidade e posição iniciais

Podem ser dados como constantes ou como funções também!

çã

Agora, vamos ver como resolver essa bagaça aí com um passo a passo bem detalhadinho. Ah, se preferir, confere esse vídeo aqui, com o mesmo conteúdo explicado de uma forma mais visual, ou continua comigo no textinho logo abaixo ☺️👇

Exemplo: Encontre a expressão para a onda com as condições usadas no passo anterior.

Beleza! Nossos dados são:

çã

Lembrando que vamos usar separação de variáveis!

Passo 1: Separar as variáveis.

Vamos aplicar o método pra chegar numa equação com essa cara aqui:

Aplicando isso aí na equação da onda:

Passamos tudo que tem para um lado e o que tem para o outro:

Só que aí surge um detalhe: essa igualdade vale para todo e para todo . Então, na verdade, essas razões não dependem de nenhuma dessas variáveis! Quer dizer que a gente pode escrever tudo isso igual a uma constante:

Como constante aqui eu escolhi , mas você poderia escolher qualquer outra coisa. Já vai ficar claro por que eu escolhi essa aí 😉

Podemos separar essa igualdade em duas equações:

Olha só! Ficamos com duas EDOs de segunda ordem!

Beleza, vamos juntar todas as informações que temos até agora:

A segunda e quarta condições são encontradas quando aplicamos as condições iniciais do problema em , tranquilo?

Podemos separar essa igualdade em duas equações:

Olha só! Ficamos com duas EDOs de segunda ordem!

Beleza, vamos juntar todas as informações que temos até agora:

A segunda e quarta condições são encontradas quando aplicamos as condições iniciais do problema em , tranquilo?

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições.

Aqui, o é o cara que tem duas condições.

Isso aí é um problema de Dirichlet homogêneo! As soluções são desse tipo aqui:

Passo 3: Resolver a EDO que falta.

Tá faltando aquele problema em t:

Dessa vez, temos uma EDO de grau 2. Para resolvê-la, usamos o método da equação característica.

As soluções disso aí são:

Avaliando :

No final de todas as contas, chegamos no seguinte:

Passo 4: Escrever como série e achar os coeficientes da série.

O que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à EDO em x e à EDO em t. Pela definição de autofunções, múltiplos dessa solução ou combinações lineares também devem satisfazer às EDOs.

Para encontrar essa que apareceu aí, vamos usar a condição que esquecemos até agora: .

Essa é uma Série de Fourier de senos! Bora fazer uma expansão ímpar de g(x):

Depois de integrar, é só substituir naquela equação anterior:

O resultado será a solução do problema de onda com velocidade inicial igual a zero. O seno e cosseno na resposta indica que é uma oscilatória, o que faz muito sentido!

Existem outros tipos de problemas, com velocidade inicial diferente de zero, por exemplo, mas os fundamentos permanecem os mesmos!

Segue para a parte de exercícios que te explico cada um dos casos lá, junto com um resuminho bastante útil 😉

Exemplo: Encontre a expressão para a onda com as condições usadas no passo anterior.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Cálculo 4, P2 2013.2, Questão 4

Considerando α e L como sendo constantes positivas e g ( x ) como sendo uma função contínua no intervalo ( 0 ,   L ) , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

u t t = α 2 u x x u 0 , t = 0 = u x L , t ,           t > 0 u x , 0 = g x ,         0 < x < L u t x , 0 = 0 ,               0 < x < L

Passo 1

Vamos começar, como sempre, pela separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na equação de onda, temos:

a 2 X ' ' x . T t = X x . T ' ' ( t )

Passando tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, temos:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t = - λ

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ a 2 T t = 0

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0           →       X 0 . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 0 = 0

u x L , t = 0           →       X ' L . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X ' L = 0

Temos também

u t x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 . T ' 0 = 0       →       T ' 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, u x , 0 = g ( x ) , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar X ( x ) e T ( t ) , para encontrar u x , t = X x . T ( t ) .

Passo 2

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em x :

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X ' L = 0

Para resolver essa EDO de segunda ordem temos que primeiro montar a equação característica que fica.

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Agora temos que testar cada caso do problema de valor de contorno.

Caso Δ > 0 :

Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Calculando X ' ( x )

X ' ( x ) = c 1 - λ e - λ x - c 2 - λ e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

c 1 = - c 2

X ' L = c 1 - λ e L - λ + c 1 - λ e - L - λ = 0

Isso nos dá

c 1 - λ ( e π - λ + e - π - λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

Como o que está dentro dos parênteses é diferente de zero, temos:

c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso Δ = 0

Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0

X 0 = c 1 = 0

X ' L = c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada ¬¬ Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso Δ < 0

Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Calculando X ' ( x )

X ' x = - c 1 λ sen ⁡ λ x + c 2 λ cos ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X ' L = c 2 λ cos ⁡ L λ = 0

Com isso ou teremos c 2 = 0 , que nos dá outra solução trivial ou cos ⁡ L λ = 0 . Como não queremos soluções triviais vamos ter.

X n x = sen ⁡ 2 n π - π 2 L x

Onde

λ n = 2 n π - π 2 L 2

Certo, agora vamos resolver o problema em t .

Passo 3

Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO

T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T ' 0 = 0

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior) e a é um coeficiente dado, não precisamos analisar os 3 casos de ∆ , olha só:

r 2 + λ a 2 = 0

r = ± - λ a 2 ⏟ > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, ∆ < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i λ a 2

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos ⁡ λ a 2 t + c 2 sen ⁡ λ a 2 t

Usando T ' 0 = 0 , temos:

T ' t = - c 1 λ a 2 sen ⁡ λ a 2 t + c 2 λ a 2 cos ⁡ λ a 2 t

T 0 = c 2 λ a 2 ⏟ ≠ 0 = 0       →       c 2 = 0

Fazendo

λ n = 2 n π - π 2 L 2

Temos então:

T n t = cos ⁡ 2 n π a t - π a t 2 L

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , t = sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L cos ⁡ 2 n π a t - π a t 2 L

Passo 4

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfaz o problema, então vamos escrever:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L cos ⁡ 2 n π a t - π a t 2 L  

Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de u n ’s.

Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: u x , 0 = g ( x ) . Fazendo t = 0 , temos:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L = g ( x )

Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de g ( x ) , podemos dizer que:

b n = 2 L ∫ 0 L g x sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L d x

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L cos ⁡ 2 n π a t - π a t 2 L  

Onde

b n = 2 L ∫ 0 L g x sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L d x

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo IV, P2/2012.2, 4

Considere o problema de onda

α 2 u x x = u t t ,                     0 < x < π ,                   t > 0 u x 0 , t = 0 ,               u x π ,   t = 0 ,                 t ≥ 0 u x , 0 = 2 ,           u t x , 0 = 0 ,           0 ≤ x ≤ π

Encontre a expressão do deslocamento vertical u ( x , t ) usando o método da separação de variáveis. Justifique sua resposta. Considere α > 0 .

Passo 1

Certo, o primeiro passo é a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na equação de onda, temos:

a 2 X ' ' x . T t = X x . T ' ' ( t )

Passando tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, temos:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t = - λ

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ a 2 T t = 0

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u x 0 , t = 0           →       X ' 0 . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X ' 0 = 0

u x π , t = 0           →       X ' π . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X ' π = 0

Temos também

u t x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 . T ' 0 = 0       →       T ' 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, u x , 0 = 2 , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar X ( x ) e T ( t ) , para encontrar u x , t = X x . T ( t ) .

Passo 2

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em x :

X ' ' x + λ X x = 0 X ' 0 = X ' π = 0

A primeira coisa que vamos fazer agora é escrever a equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Agora vamos encontrar as soluções da EDO para cada caso de ∆ e depois juntar as respostas que encontrarmos.

Caso 1: ∆ > 0 , o que nos dá λ < 0 . Nesse caso, as soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X ' 0 = 0 X ' π = 0 . Temos:

X ( x ) = c 1 - λ e - λ x - c 2 - λ e - - λ x

X ' 0 = c 1 - λ - c 2 - λ = 0

X ' π = c 1 - λ e π - λ - c 2 - λ e - π - λ = 0

Isso nos dá

( c 1 - c 2 ) - λ ⏟ ≠ 0 = 0

c 1 = c 2

Aqui temos o mesmo raciocínio:

c 1 ( - λ e π - λ - - λ e - π - λ ) ⏟ ≠ 0 = 0

c 1 = 0

c 2 = c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos X x = 0 .

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 , o que nos dá λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X ' 0 = 0 e X ' π = 0

X ' x = c 2

X ' 0 = c 2 = 0

X ' ( π ) = c 2 = 0

Bom, as duas condições de contorno nos dão a mesma informação, não é? Temos, então que

X x = c 1

Isso para o autovalor

λ = 0

Como escrevemos, por convenção, as autofunções sem a constante multiplicativa, temos o seguinte:

X 0 x = 1

Essa é uma solução da nossa EDO, e qualquer combinação linear de X ( x ) também.

Caso 3 : ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X ' 0 = 0 X ' π = 0 . Temos:

X ' ( x ) = - c 1 λ sen ⁡ λ x + c 2 λ cos ⁡ λ x

X ' 0 = - c 1 λ sen ⁡ 0 + c 2 λ cos ⁡ 0 = 0

X ' π = - c 1 λ sen ⁡ π λ + c 2 λ cos ⁡ π λ = 0

Isso nos dá

c 2 λ ⏟ ≠ 0 = 0         →         c 2 = 0

- c 1 ⏟ ≠ 0 sen ⁡ π λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 1 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ π λ = 0

Isso ocorre para valores múltiplos de π , ou seja, quando:

π λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ = n

λ n = n 2

A solução geral do caso 3 é, então:

X n x = cos ⁡ n x                 n = 1,2 , 3 …

Temos, então, as seguintes soluções:

X x = 1 , λ = 0

X n x = cos ⁡ ( n x ) , λ n = n 2

Certo, agora vamos resolver o problema em t .

Passo 3

Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO

T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T ' 0 = 0

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior) e a é um coeficiente dado, não precisamos analisar os 3 casos de ∆ , olha só:

r 2 + λ a 2 = 0

r = ± - λ a 2 ⏟ > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, ∆ < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i λ a 2

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos ⁡ λ a 2 t + c 2 sen ⁡ λ a 2 t

T ' ( t ) = - c 1 λ a 2 sen ⁡ λ a 2 t + c 2 λ a 2 cos ⁡ λ a 2 t

Usando T ' 0 = 0 , temos:

T ' ( 0 ) = c 2 λ a 2 ⏟ ≠ 0

T ' 0 = c 2 = 0

O que nos dá:

T t = c 1 cos ⁡ λ a 2 t

Para λ = n 2 temos então:

T n t = cos ⁡ ( n a t )

Para o caso em que λ = 0 , temos:

T 0 t = 1

Assim, como u x , t = X x T t , podemos escrever

u n x , t = cos ⁡ ( n x ) cos ⁡ ( n a t )

u 0 ( x , t ) = 1

Passo 4

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Como combinações lineares dessas soluções também satisfazem o problema, podemos escrever:

  u x , t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) cos ⁡ ( n a t )  

Repare que nós colocamos coeficientes tanto na solução u n x , t = cos ⁡ ( n x ) cos ⁡ ( n a t ) como na solução u 0 ( x , t ) = 1 . Escrevemos a 0 / 2 nessa última para podermos reconhecer uma série de Fourier (de cossenos no caso).

Certo, agora precisamos achar esses coeficientes!

Vamos usar a condição que faltou:   u x , 0 = 2 .

u x , 0 = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n x )   = 2

Como essa é uma Série de Fourier de cossenos, fazendo uma extensão par de da função f x = 2 podemos dizer que:

a 0 = 2 π ∫ 0 π 2 d x = 4

Temos também

a n = 2 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ ( n x ) d x

a n = 4 π n s e n ( n x ) 0 π = 0

Substituindo na série:

u x , t = 2

Tá, resposta suspeita né? Estranho o a n dar zero, mas fazer o que? É isso aí!

Resposta

u x , t = 2

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