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Equação de Diferença – Homogênea

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Teoria

Introdução

Imagina que temos um sistema de Equação de diferença. O que é isso? Vou te dar um exemplo

x n + 1 = x n + y n y n + 1 = 4 x n + y n

O sistema tem essa cara.

Temos um método para resolver isso, envolve achar os autovalores dessa equação. A primeira coisa que temos que fazer é escrever esse sistema dessa forma, fazemos

X n = x n y n

E vamos ter

X n + 1 = A X n

Nesse exemplo que eu dei vai ficar

X n + 1 = 1 1 4 1 X n

Beleza? E vai ser com essa matriz A que vamos fazer todas as contas.

O que temos que fazer agora é achar os autovalores dessa matriz A , é através dele que vamos chegar nas respostas. O primeiro passo é achar esses autovalores, vamos chama-los de λ 1 e λ 2 .

A resposta depende exclusivamente deles, vamos ver 3 casos que são aqueles mais comuns.

A resposta vai ser sempre assim

X n = A n X 0

Com os autovalores vamos descobrir essa matriz A n de forma mais fácil que simplesmente sair fazendo conta, vamos ver como fica em cada caso.

OBS: Fica atento a ordem dessa multiplicação como A n e X 0 são matrizes a ordem importa.

Autovalores Reais e Diferentes

Beleza, imagina que você achou os autovalores e eles são λ 1 e λ 2 , além disso eles são reais e diferentes, a matriz A n vai ficar

A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

Onde I é a matriz identidade e A é a matriz do sistema.

De boa? É simples assim, Vamos voltar para aquele exemplo ali de cima

A = 1 1 4 1

Lembra como faz os autovalores? Temos que resolver a seguinte equação

1 - λ 1 4 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ - 4 = 0

1 - 2 λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 - 2 λ - 3 = 0

Resolvendo isso vamos ter

λ 1 = 3

λ 2 = - 1

Vamos achar agora A n

A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

A n = 3 n 1 0 0 1 + 3 n - - 1 n 3 - - 1 1 1 4 1 - 3 1 0 0 1

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - - 1 n 3 + 1 1 1 4 1 - 3 0 0 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - - 1 n 4 1 - 3 1 - 0 4 - 0 1 - 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - - 1 n 4 - 2 1 4 - 2

⇒ 3 n 0 0 3 n + - 3 n + - 1 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n - 3 n + - 1 n 2

⇒ - 3 n + - 1 n 2 + 3 n 3 n - - 1 n 4 + 0 3 n - - 1 n + 0 - 3 n + - 1 n 2 + 3 n

⇒ - 3 n + - 1 n 2 + 2 ∙ 3 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n - 3 n + - 1 n 2 + 2 ∙ 3 n 2

⇒ - 3 n + - 1 n + 2.3 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n - 3 n + - 1 n + 2.3 n 2

⇒ 3 n + - 1 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n 3 n + - 1 n 2

E a solução vai ficar

X n = 3 n + - 1 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n 3 n + - 1 n 2 X 0

O valor de X 0 depende da condição inicial, nos exercícios vamos ver isso com mais calma.

Vamos aos outros casos.

Autovalores Reais e iguais

Nesse caso a matriz A n vai ficar

A n = λ n I + n λ n - 1 A - λ I

E as contas são exatamente como antes, primeiro achamos autovalores, eles sendo iguais usamos a fórmula aqui de cima.

Vamos ver agora o último caso que é o mais complicado, mas é o que menos deve aparecer na realidade.

Autovalores Complexos

Aqui temos alguns passos extras para colocar, a primeira coisa é achar os autovalores como antes, aí vamos achar um cara da seguinte forma

λ = a ± b i

Aqui vamos precisar fazer esse cara elevado a n para isso é mais interessante colocar ele na forma trigonométrica,

Fica calmo, lembra de nada de número complexo do ensino médio né? Agora ferrou de vez. Relaxe, vamos ver que só precisamos de duas contas, e conseguimos escrever esse número complexo na forma trigonométrica. Um deles é o módulo desse número complexo, lembra como calcular? Escrevemos o módulo como ρ , e ele vai ser

ρ = a 2 + b 2

Beleza, a outra coisa é o argumento do número complexo, que é chamado de θ , e vamos ter

sen ⁡ θ = b ρ

E

cos ⁡ θ = a ρ

Agora com isso vamos calcular A n assim,

A n = ρ n b cos ⁡ n θ - a sen ⁡ n θ b I + sen ⁡ n θ b A

Gostosinho esse cara né? Infelizmente a parada é assim mesmo.

Resumindo

Vamos escrever aqui um passo a passo geral sobre isso

  1. Achar os autovalores
  2. Se eles forem diferentes basta trocar nessa fórmula aí de cima.

    3. A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

  3. Se eles forem iguais basta trocar na fórmula aqui de baixo

    4. A n = λ n I + n λ n - 1 A - λ I

  4. Se ele for complexo, vamos lembrar que ele é da forma λ = a ± b i temos que fazer:
    1. Achar o módulo desse número complexo ρ

      2. ρ = a 2 + b 2

    2. Achar o argumento desse número complexo θ

      3. θ = arcsen ⁡ b ρ = arccos ⁡ a ρ

    3. Substituir isso tudo que rtemos na fórmula abaixo

A n = ρ n b cos ⁡ n θ - a sen ⁡ n θ b I + sen ⁡ n θ b A

Partiu exercícios agora?

Autovalores Reais e Diferentes

Autovalores Reais e iguais

Autovalores Complexos

Resumindo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2014.1, Questão 4

Classifique em verdadeiro ou falso a afirmação abaixo, justificando.

Temos que X n = 3 n - 2 n , 2 n é solução do sistema de diferenças finitas:

X n + 1 = B X n

Onde

B = 3 1 0 2

Passo 1

Vamos trocar o valor na EDO e ver se dá certo, simples assim rs.

X n + 1 = 3 n + 1 - 2 n + 1 2 n + 1

Vamos achar agora B X n

B X n = 3 1 0 2 3 n - 2 n 2 n

⇒ 3 . 3 n - 3 . 2 n + 2 n 2 . 2 n

⇒ 3 . 3 n - 2 . 2 n 2 . 2 n

⇒ 3 n + 1 - 2 n + 1 2 n + 1

Como podemos ver

X n + 1 = B X n

Então

X n = 3 n - 2 n , 2 n

É Solução dessa EDO.

Resposta

Verdadeiro

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Resolva o sistema e de equações de diferença abaixo.

x n + 1 = 2 x n + y n y n + 1 = x n + 2 y n

Com a seguinte condição inicial

X 0 = 1 - 2

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que escrever esse sistema da forma matricial, fazendo

X n = x n y n

Vamos ter

X n + 1 = x n + 1 y n + 1

E o sistema vai ser, na forma matricial, da seguinte forma

X n + 1 = 2 1 1 2 X n

Temos que achar a matriz A n , primeiro fazemos os autovalores de A n lembra? Vamos a eles.

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores dessa parada, vamos fazer

2 - λ 1 1 2 - λ = 0

2 - λ 2 - λ - 1 = 0

4 - 4 λ + λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 = 0

Resolvendo essa equação de 2 º grau, vamos ter

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 . 1 3 2.1 = 4 + 16 - 12 2 = 4 + 4 2 = 4 + 2 2 = 6 2 = 3

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 . 1 3 2.1 = 4 - 16 - 12 2 = 4 - 4 2 = 4 - 2 2 = 2 2 = 1

Encontramos dois autovalores reais e diferentes, vamos agora fazer o valor de A n pela fórmula que vimos na teoria.

Passo 3

Como os autovalores são reais e diferente, vamos ter

A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

⇒ 3 n 1 0 0 1 + 3 n - 1 n 3 - 1 2 1 1 2 - 3 1 0 0 1

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 2 1 1 2 - 3 0 0 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 2 - 3 1 - 0 1 - 0 2 - 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 - 1 1 1 - 1

⇒ 3 n 0 0 3 n + - 3 n + 1 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 - 3 n + 1 2

⇒ - 3 n + 1 2 + 3 n 3 n - 1 2 + 0 3 n - 1 2 + 0 - 3 n + 1 2 + 3 n

⇒ - 3 n + 1 2 + 2 ∙ 3 n 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 - 3 n + 1 2 + 2 ∙ 3 n 2

A n = 3 n + 1 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 3 n + 1 2

Um detalhe aqui que é importante é, se você trocar o nome dos caras, fazendo λ 1 = 1 e λ 2 = 3 a matriz A n precisa ser exatamente igual, não faz sentido ser diferente porque a potenciação de matriz é uma resposta única, fica atento as contas que são bem chatinhas.

Passo 4

Agora que temos A n como vamos chegar em X n ? Lembra que vai ficar assim

X n = A n X 0

E nesse caso X 0 foi dado no enunciado

X n = 3 n + 1 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 3 n + 1 2 1 - 2

X n = 3 n + 1 2 - 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 - 2 3 n + 1 2

X n = 3 n + 1 - 2 ∙ 3 n + 2 2 3 n - 1 - 2 ∙ 3 n - 2 2

X n = - 3 n + 3 2 - 3 n - 3 2

E aí está a solução do nosso sistema de Equações. Vamos ter

x n = - 3 n + 3 2

y n = - 3 n - 3 2

Resposta

x n = - 3 n + 3 2

y n = - 3 n - 3 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Resolva o sistema e de equações de diferença abaixo.

X n + 1 = 3 - 1 1 1 X n

Com a seguinte condição inicial

X 1 = 1 1

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, temos que achar a matriz A n , primeiro fazemos os autovalores de A n lembra? Vamos a eles.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 - 1 1 1

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ - 1 1 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - - 1 . 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 + 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

λ 1 = λ 2 = 2

Encontramos dois autovalores reais e diferentes, vamos agora fazer o valor de A n pela fórmula que vimos na teoria.

Passo 3

Como os autovalores são reais e iguais, vamos ter

A n = λ n I + n λ n - 1 A - λ I

⇒ 2 n 1 0 0 1 + n 2 n - 1 3 - 1 1 1 - 2 1 0 0 1

⇒ 2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 3 - 1 1 1 - 2 0 0 2

⇒ 2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 3 - 2 - 1 - 0 1 - 0 1 - 2

⇒ 2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 1 - 1 1 - 1

⇒ 2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 - n 2 n - 1 n 2 n - 1 - n 2 n - 1

⇒ n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 + 0 n 2 n - 1 + 0 - n 2 n - 1 + 2 n

A n = n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 n 2 n - 1 - n 2 n - 1 + 2 n

Passo 4

Agora que temos A n como vamos chegar em X n ? Lembra que vai ficar assim

X n = A n X 0

E nesse caso X 0 foi não dado no enunciado, vamos fazer pelo que ele disse, ou seja X 1

X 1 = A 1 X 0

X 1 = A X 0

Vamos fazer

X 0 = C 1 C 2

Substituindo os valores todos vamos ter

1 1 = 3 - 1 1 1 C 1 C 2

3 C 1 - C 2 = 1

C 1 + C 2 = 1

Somando as duas equações vamos ter

4 C 1 = 2

C 1 = 1 2

Trocando isso na segunda equação vamos achar

1 2 + C 2 = 1

C 2 = 1 - 1 2

C 2 = 1 2

Então

C 1 = C 2 = 1 2

Passo 5

Vamos agora para a solução geral

X n = A n X 0

X n = n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 n 2 n - 1 - n 2 n - 1 + 2 n 1 2 1 2

X n = n 2 n - 1 + 2 n 2 - n 2 n - 1 2 n 2 n - 1 2 + - n 2 n - 1 + 2 n 2

X n = n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 2 n 2 n - 1 - n 2 n - 1 + 2 n 2

X n = 2 n 2 2 n 2

X n = 2 n - 1 2 n - 1

Resposta

X n = 2 n - 1 2 n - 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Resolva o sistema e de equações de diferença abaixo.

x n + 1 = x n - 5 y n

y n + 1 = x n - 3 y n

Com a seguinte condição inicial

X 0 = 2 - 1

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que escrever esse sistema da forma matricial, fazendo

X n = x n y n

Vamos ter

X n + 1 = x n + 1 y n + 1

E o sistema vai ser, na forma matricial, da seguinte forma

X n + 1 = 1 - 5 1 - 3 X n

Precisamos achar a matriz A n , vamos começar achando os autovalores de A

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores dessa parada, vamos fazer

1 - λ - 5 1 - 3 - λ = 0

1 - λ - 3 - λ - - 5 = 0

- 3 - λ + 3 λ + λ 2 + 5 = 0

λ 2 + 2 λ + 2 = 0

Resolvendo essa equação de 2 º grau, vamos ter

λ 1 = - 2 + 2 2 - 4 . 2 1 2.1 = - 2 + 4 - 8 2 = - 2 + - 4 2 = - 2 + 4 i 2 = - 2 + 2 i 2 = - 1 + i

λ 1 = - 2 - 2 2 - 4 . 2 1 2.1 = - 2 - 4 - 8 2 = - 2 - - 4 2 = - 2 - 4 i 2 = - 2 - 2 i 2 = - 1 - i

Passo 3

Aqui achamos autovalores complexos, antes de resolver a fórmula de A n temos que achar o módulo ρ e o argumento θ do número complexo, primeiro vamos lembrar como é a forma dele. Vamos ter

λ = a ± b i

Dessa forma

a = - 1

b = 1

Vamos achar o módulo de λ

ρ = a 2 + b 2

ρ = - 1 2 + 1 2

ρ = 1 + 1

ρ = 2

Vamos agora ao argumento, vamos ter

sen ⁡ θ = 1 2 = 2 2

cos ⁡ θ = - 1 2 = - 2 2

O ângulo que tem esse seno seria 45 ° ou 135 ° mas só o 135 ° tem cosseno negativo. Então

θ = 3 π 4

Lembra que o ângulo precisa estar em radianos.

Passo 4

Vamos agora a matriz A n

A n = ρ n b cos ⁡ n θ - a sen ⁡ n θ b I + sen ⁡ n θ b A

⇒ 2 n 1 cos ⁡ n 3 π 4 - - 1 sen ⁡ n 3 π 4 1 1 0 0 1 + sen ⁡ n 3 π 4 1 1 - 5 1 - 3

⇒ 2 n cos ⁡ n 3 π 4 + sen ⁡ n 3 π 4 1 0 0 1 + sen ⁡ n 3 π 4 1 - 5 1 - 3

⇒ 2 n cos ⁡ n 3 π 4 + sen ⁡ n 3 π 4 0 0 cos ⁡ n 3 π 4 + sen ⁡ n 3 π 4 + sen ⁡ n 3 π 4 - 5 sen ⁡ n 3 π 4 sen ⁡ n 3 π 4 - 3 sen ⁡ n 3 π 4

⇒ 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + cos ⁡ n 3 π 4 + sen ⁡ n 3 π 4 - 5 sen ⁡ n 3 π 4 sen ⁡ n 3 π 4 - 3 sen ⁡ n 3 π 4 + cos ⁡ n 3 π 4 + sen ⁡ n 3 π 4

⇒ 2 n 2 sen ⁡ n 3 π 4 + cos ⁡ n 3 π 4 - 5 sen ⁡ n 3 π 4 sen ⁡ n 3 π 4 - 2 sen ⁡ n 3 π 4 + cos ⁡ n 3 π 4

A n = 2 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 n cos ⁡ n 3 π 4 - 5 2 n sen ⁡ n 3 π 4 2 n sen ⁡ n 3 π 4 - 2 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 n cos ⁡ n 3 π 4

Passo 5

Agora que temos A n como vamos chegar em X n ? Lembra que vai ficar assim

X n = A n X 0

E nesse caso X 0 foi dado no enunciado

X n = 2 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 n cos ⁡ n 3 π 4 - 5 2 n sen ⁡ n 3 π 4 2 n sen ⁡ n 3 π 4 - 2 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 n cos ⁡ n 3 π 4 2 - 1

X n = 4 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 2 n cos ⁡ n 3 π 4 + 5 2 n sen ⁡ n 3 π 4 2 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 2 n sen ⁡ n 3 π 4 - 2 n cos ⁡ n 3 π 4

X n = 9 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 2 n cos ⁡ n 3 π 4 4 2 n sen ⁡ n 3 π 4 - 2 n cos ⁡ n 3 π 4

E aí está a solução do nosso sistema de Equações. Vamos ter

x n = 9 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 2 n cos ⁡ n 3 π 4

y n = 4 2 n sen ⁡ n 3 π 4 - 2 n cos ⁡ n 3 π 4

Resposta

x n = 9 2 n sen ⁡ n 3 π 4 + 2 2 n cos ⁡ n 3 π 4

y n = 4 2 n sen ⁡ n 3 π 4 - 2 n cos ⁡ n 3 π 4