Método de Eliminação – Caso Homogêneo
Teoria
Vamos começar a resolver sistemas de EDOs. Lembra como eles eram? Aqui abaixo tem um exemplo.
Lembre que a gente viu que era importante manter a derivada isolada igual a uma função. Nesse caso, não temos nenhuma função de t no sistema. Sempre que isso acontecer, vamos chamar o sistema de homogêneo. Mais lá na frente vamos tratar de sistemas não homogêneos.
Agora vamos começar vendo o que é o método da eliminação nesses sistemas.
Método da Eliminação
Vamos resolver o exemplo alí de cima.
Nosso objetivo é transformar o sistema em apenas uma EDO de 2 ordem, ou em x ou em y, como for mais simples. Se escolhermos o , como vai ficar?
Vamos isolar em uma das duas equações, por exemplo na primeira.
Agora vamos derivar implicitamente essa equação, encontrando:
Agora substituímos na segunda a derivada e a equação com isolado.
Pronto! Chegamos no objetivo de encontrar uma EDO de ordem. Já sabemos resolver esse tipo de EDO, mas vamos dar uma lembrada do método da equação característica aqui:
Vamos pegar uma EDO de coeficientes , e constantes desse tipo aqui:
Essa é uma EDO de 2º grau (por causa do ’’) e linear (porque não temos ). Para encontrar as soluções precisamos primeiro escrever sua equação característica:
Ou seja, substitua por , por e por . Então, encontramos o(s) valor(es) de , achando as raízes dessa equação do 2º grau.
Isso pode chegar em 3 casos:
- : Encontramos duas raízes reais diferentes . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo ;
- : Encontramos uma raiz real dupla . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo ;
- : Encontramos duas raízes complexas conjugadas e . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo
A solução dessa EDO vai ser
Agora para achar a função basta fazer
Deu para relembrar esse método? Qualquer coisa é só voltar nos tópicos de resolução de EDOs de 2ª ordem.
Beleza, vimos o método da eliminação de sistemas de EDOs homogêneas. Aqui vai o passo a passo para resumir:
Passo 1: Isolar uma variável, ou , em uma das equações
Passo 2: Derivar implicitamente essa equação escolhida
Passo 3: Substituir essa equação na outra equação, procurando deixar uma variável só
Passo 4: Resolver a EDO de ordem encontrada
Passo 5: Achar a outra função que falta.
Passo 6: Substituir os valores iniciais em caso de PVI.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação
Passo 1
Vamos começar isolando uma das variáveis. Vamos isolar na primeira equação
Agora vamos derivar implicitamente
Passo 2
O próximo passo é substituir e na segunda equação
Passo 3
Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar
Esse é o caso onde então a solução vai ser
Passo 4
Agora temos que encontrar
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação
Passo 1
A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar na primeira equação
Agora vamos derivar implicitamente
Passo 2
O próximo passo é substituir e na segunda equação
Passo 3
Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar
Esse é o caso onde então a solução vai ser
Passo 4
Agora temos que encontrar
Resposta
Exercício Resolvido #3
Zill DG, Cullen MR. Matemática Avançada para Engenharia-Vol III. Editora Bookman,2009. Cap 1, p 43 exercício 33.
Determine a solução geral para o sistema abaixo:
Passo 1
Vamos usar o método da eliminação aqui.
A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar na primeira equação
Agora vamos derivar implicitamente
Passo 2
O próximo passo é substituir e na segunda equação
Passo 3
Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar
Vamos ter
As soluções da equação vão ser
Nós vimos que a solução quando é
No nosso caso, e
Então
Passo 4
Agora temos que encontrar
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação
Passo 1
A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar na primeira equação
Agora vamos derivar implicitamente
Passo 2
O próximo passo é substituir e na segunda equação
Passo 3
Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar
Esse é o caso onde então a solução vai ser
Passo 4
Agora temos que encontrar
Resposta
Exercício Resolvido #5
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 220, exercício 9 – Modificado
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Com
Passo 1
Vamos usar o método da eliminação aqui.
A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar na segunda equação
Agora vamos derivar implicitamente
Passo 2
O próximo passo é substituir e na primeira equação
Passo 3
Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar
Vamos ter
As soluções da equação vão ser
A solução vai ser
Passo 4
Agora temos que encontrar
Passo 5
Vamos agora aplicar os valores iniciais
Vamos ter
Passo 6
As funções vão ser