Modelagem de Problemas
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução
Você já deve ter visto várias aplicações pra EDOs, agora a gente vai conversar sobre as aplicações de sistemas de EDO. Nós temos alguns casos que são bem característicos e vamos ensinar vocês a montar as equações de cada um desses casos.
A resolução nós não vamos falar nessa teoria, mas você vai perceber nas próximas teorias que se aprender a montar as equações direito a resolução sai de forma automática.
Os casos que vamos ver serão: sistema de molas acopladas, circuitos elétricos e mistura entre tanques.
Sistema de molas acopladas
Em um sistema de molas acopladas nós temos duas molas conectadas e queremos descobrir a deformação de cada uma delas em função do tempo. Tomando a figura abaixo com as molas e , com constantes e respectivamente, conectadas com os blocos de massa e . Seja a equação do deslocamento do bloco e a equação do deslocamento do bloco .
Agora vamos ter que usar aquele conhecimento de Física pra montar o nosso sistema de EDOs. Supondo que não temos nenhuma força externa, não tem a força da gravidade, no bloco de massa teremos uma força elástica da mola e uma da mola de forma que.
O sinal negativo da força da mola é por uma convenção de sinal. A deformação da mola vai ser o quanto o bloco desceu menos o quanto o bloco desceu.
Como nós só temos essas duas forças agindo no bloco de massa , pela segunda lei de Newton temos que.
Como
Nossas equações já estão começando a aparecer. No bloco de massa nós só teremos a ação da força , esse sinal negativo aparece porque no bloco a força puxava o bloco pra baixo enquanto no bloco ela puxa pra cima. De forma análoga ao que fizemos pro primeiro bloco nós obtemos a seguinte equação.
O nosso sistema fica então.
Agora já temos as equações pra essa aplicação.
Circuitos Elétricos
Essa é a parte mais chatinha porque tem bastante física, vou tentar simplificar bastante pra vocês pegarem a ideia do que tem que fazer pra resolver uma questão dessa.
Pra resolver esses problemas vamos precisar basicamente da primeira e da segunda lei de Kirchhoff. Vamos enunciar elas aqui embaixo e depois a gente vê direitinho num exemplo
Primeira lei de Kirchhoff
A primeira lei é a lei das correntes, ela diz que a soma das correntes entrando e saindo em um nó é igual a zero. Isso quer dizer que toda corrente que entra em um nó tem que sair também.
Segunda lei de Kirchhoff
A segunda lei é a lei das malhas, ela diz que a soma das forças eletromotrizes em uma malha é igual à soma das quedas de potencial. Essa é mais confusa, mas a ideia é simples. Resistores, Indutores e Capacitores geram variação de potencial quando uma corrente passa por eles, essa lei diz que a ddp entre dois pontos é a soma dessas quedas.
Antes de aplicarmos essas leis tem algumas decorebas que você tem que guardar sobre queda de potencial. Abaixo estão as fórmulas de como fica a queda de potencial quando uma corrente passa por um indutor, resistor ou capacitor
Você percebeu que só a formula do capacitor que tá com ao invés de né? Isso é porque a formula do capacitor é com carga, mas nós só temos que lembrar da seguinte relação entre carga e corrente que fica tudo certo.
Agora nós já temos as nossas leis e as nossas decorebas, vamos aplicar no circuito abaixo.
No nó nós temos corrente entrando e correntes e saindo ,então pela primeira lei de Kirchhoff.
Agora vamos usar a segunda lei. O potencial entre e é dado por , onde é uma função de um força eletromotriz. Pela segunda lei de Kirchhoff a gente sabe que esse também é igual a queda de potencial quando a gente analisa o caminho ou o caminho . Utilizando as nossas decorebas nós temos.
Agora nós podemos usar a equação que achamos com a primeira lei pra sumir com o e assim nós ficamos com as seguintes equações.
Conseguimos nosso sistema de EDOs
Mistura entre tanques
A ideia de problemas com tanques é bem simples. Vamos supor que temos dois tanques que possuem quantidades de um sal. Vamos definir as funções da quantidade de sal nos tanques como e . Vamos usar a figura abaixo pra ficar mais fácil de entender como funciona essa modelagem.
Vamos designar a nossa função pro tanque e pro tanque . A grande chave desses problema é lembrar que a variação da quantidade de sal, a derivada em função do tempo, vai ser igual a taxa de sal que entra menos a que sai. As taxas vão ser a concentração do sal vezes o fluxo de liquido. Sendo assim nós vamos ter.
Pra gente poder resolver o problema vamos supor que os dois tanques tem 20 litros de agua pura. Bora resolver então.
No tanque temos entrando agua pura e agua da mistura do tanque . A agua pura tem concentração de sal igual a 0 e a agua da mistura de tem concentração de , que é a quantidade de sal desse tanque dividida pelo volume dele. Temos saindo nesse mesmo tanque uma mistura com concentração de , que é a quantidade de sal desse tanque dividida pelo volume dele.
No tanque nós vamos ter aquela mistura que saiu do tanque entrando no tanque . Saindo nós vamos ter agora aquela mesma mistura que tava entrando em e agora uma outra saída, com a mesma concentração, que vai pra fora dos dois tanques como mostra a figura.
Bem simples né galera?