Teoria

Introdução

Você já deve ter visto várias aplicações pra EDOs, agora a gente vai conversar sobre as aplicações de sistemas de EDO. Nós temos alguns casos que são bem característicos e vamos ensinar vocês a montar as equações de cada um desses casos.

A resolução nós não vamos falar nessa teoria, mas você vai perceber nas próximas teorias que se aprender a montar as equações direito a resolução sai de forma automática.

Os casos que vamos ver serão: sistema de molas acopladas, circuitos elétricos e mistura entre tanques.

Sistema de molas acopladas

Em um sistema de molas acopladas nós temos duas molas conectadas e queremos descobrir a deformação de cada uma delas em função do tempo. Tomando a figura abaixo com as molas A e B , com constantes k 1 e k 2 respectivamente, conectadas com os blocos de massa m 1 e m 2 . Seja x 1 t a equação do deslocamento do bloco m 1 A e x 2 ( t ) a equação do deslocamento do bloco m 2 .

Agora vamos ter que usar aquele conhecimento de Física pra montar o nosso sistema de EDOs. Supondo que não temos nenhuma força externa, não tem a força da gravidade, no bloco de massa m 1 teremos uma força elástica da mola A e uma da mola B de forma que.

F e l A = - k 1 x 1 ,     F e l B = k 2 ( x 2 - x 1 )  

O sinal negativo da força da mola A é por uma convenção de sinal. A deformação da mola B vai ser o quanto o bloco m 2 desceu menos o quanto o bloco m 1 desceu.

Como nós só temos essas duas forças agindo no bloco de massa m 1 , pela segunda lei de Newton temos que.

m 1 a = F e l A + F e l B

Como a = d 2 x 1 d t 2

m 1 d 2 x 1 d t 2 = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )

Nossas equações já estão começando a aparecer. No bloco de massa m 2 nós só teremos a ação da força - F e l B , esse sinal negativo aparece porque no bloco m 1 a força puxava o bloco pra baixo enquanto no bloco m 2 ela puxa pra cima. De forma análoga ao que fizemos pro primeiro bloco nós obtemos a seguinte equação.

m 2 d 2 x 2 d t 2 = - k 2 ( x 2 - x 1 )

O nosso sistema fica então.

m 1 x 1 ' ' = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )

m 2 x 2 ' ' = - k 2 ( x 2 - x 1 )

Agora já temos as equações pra essa aplicação.

Circuitos Elétricos

Essa é a parte mais chatinha porque tem bastante física, vou tentar simplificar bastante pra vocês pegarem a ideia do que tem que fazer pra resolver uma questão dessa.

Pra resolver esses problemas vamos precisar basicamente da primeira e da segunda lei de Kirchhoff. Vamos enunciar elas aqui embaixo e depois a gente vê direitinho num exemplo

Primeira lei de Kirchhoff

A primeira lei é a lei das correntes, ela diz que a soma das correntes entrando e saindo em um nó é igual a zero. Isso quer dizer que toda corrente que entra em um nó tem que sair também.

Segunda lei de Kirchhoff

A segunda lei é a lei das malhas, ela diz que a soma das forças eletromotrizes em uma malha é igual à soma das quedas de potencial. Essa é mais confusa, mas a ideia é simples. Resistores, Indutores e Capacitores geram variação de potencial quando uma corrente passa por eles, essa lei diz que a ddp entre dois pontos é a soma dessas quedas.

Antes de aplicarmos essas leis tem algumas decorebas que você tem que guardar sobre queda de potencial. Abaixo estão as fórmulas de como fica a queda de potencial quando uma corrente passa por um indutor, resistor ou capacitor

L d i d t ,     R i ,     1 C q

Você percebeu que só a formula do capacitor que tá com q ao invés de i né? Isso é porque a formula do capacitor é com carga, mas nós só temos que lembrar da seguinte relação entre carga e corrente que fica tudo certo.

i = d q d t

Agora nós já temos as nossas leis e as nossas decorebas, vamos aplicar no circuito abaixo.

No nó B 1 nós temos corrente i 1 entrando e correntes i 2 e i 3 saindo ,então pela primeira lei de Kirchhoff.

i 1 = i 2 + i 3

Agora vamos usar a segunda lei. O potencial entre A 1 e B 2 é dado por E , onde E é uma função de um força eletromotriz. Pela segunda lei de Kirchhoff a gente sabe que esse E também é igual a queda de potencial quando a gente analisa o caminho A 1 B 1 B 2   ou o caminho A 1 C 1 C 2 . Utilizando as nossas decorebas nós temos.

E = i 1 R 1 + L 1 d i 2 d t + R 2 i 2

E = i 1 R 1 + L 2 d i 3 d t

Agora nós podemos usar a equação que achamos com a primeira lei pra sumir com o i 1 e assim nós ficamos com as seguintes equações.

E = L 1 d i 2 d t + R 1 + R 2 i 2 + R 1 i 3

E = L 2 d i 3 d t + R 1 i 2 + R 1 i 3

Conseguimos nosso sistema de EDOs

Mistura entre tanques

A ideia de problemas com tanques é bem simples. Vamos supor que temos dois tanques que possuem quantidades de um sal. Vamos definir as funções da quantidade de sal nos tanques como x 1 e x 2 . Vamos usar a figura abaixo pra ficar mais fácil de entender como funciona essa modelagem.

Vamos designar a nossa função x 1 pro tanque A e x 2 pro tanque B . A grande chave desses problema é lembrar que a variação da quantidade de sal, a derivada em função do tempo, vai ser igual a taxa de sal que entra menos a que sai. As taxas vão ser a concentração do sal vezes o fluxo de liquido. Sendo assim nós vamos ter.

d x 1 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a

d x 2 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a

Pra gente poder resolver o problema vamos supor que os dois tanques tem 20 litros de agua pura. Bora resolver então.

No tanque A temos entrando agua pura e agua da mistura do tanque B . A agua pura tem concentração de sal igual a 0 e a agua da mistura de B tem concentração de x 2 20 , que é a quantidade de sal desse tanque dividida pelo volume dele. Temos saindo nesse mesmo tanque uma mistura com concentração de x 1 20 , que é a quantidade de sal desse tanque dividida pelo volume dele.

d x 1 d t = 3 l m i n × 0 g l + 1 l m i n × x 2 20 g l   - 4 l m i n × x 1 20 g l

d x 1 d t = x 2 20 - x 1 5

No tanque B nós vamos ter aquela mistura que saiu do tanque A entrando no tanque B . Saindo nós vamos ter agora aquela mesma mistura que tava entrando em A e agora uma outra saída, com a mesma concentração, que vai pra fora dos dois tanques como mostra a figura.

d x 2 d t = 4 l m i n × x 1 20 g l - ( 3 l m i n + 1 l m i n ) × x 2 20 g l

d x 2 d t = x 1 5 - x 2 5

Bem simples né galera?

Circuitos Elétricos

Mistura entre tanques

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