Obtenção dos Pontos Críticos
Teoria
Os pontos críticos são os valores de e que vamos ter a derivada sendo .
Na esmagadora maioria das vezes o ponto crítico vai ser só o , mas fique atento que as vezes pode não ser. É muito difícil aparecer um exemplo desse, mas fique tranquilo que vamos ver mais tarde como resolver essa parada.
O normal é considerarmos como o único ponto crítico de um sistema, mas a ideia de ponto crítico faz mais sentido para um sistema não linear. Você deve estar se perguntando o que diabos é um sistema não linear, relaxa, vamos ver com calma essa parada.
Até agora vimos sistemas de equação linear, ou seja, aqueles que são sempre assim
Com , , e sendo constantes.
Os sistemas não lineares são uns que vão ter quaisquer funções sendo igual a ou .
Um exemplo disso seria
Mas dada essa função muito louca, como fazer o ponto crítico? Queremos
Então vamos ter
Isolando na equação de baixo vamos ter
Substituindo isso na equação de cima, vamos ter
Isso nos diz que , e os pontos críticos vão ser
Pronto já encontramos os pontos críticos.
É comum também termos que montar um sistema e calcular os pontos críticos a partir de uma equação. Pra fazer isso vamos ter que antes escrever a equação no formato de um sistema autônomo, que é bem parecido com a forma normal que nós já vimos em outra teoria.
O que a gente vai fazer é criar uma variável pra auxiliar a gente nessa missão. Vamos ver um exemplo que vai ficar bem mais fácil.
Pra montar um sistema nós vamos sempre ter que criar uma variável no seguinte formato.
Quando a gente cria essa variável a gente já sabe que
E substituindo essa nova variável na nossa equação nós obtemos o seguinte
Sendo assim o nosso sistema vai ficar
Agora a ideia é só achar os pontos críticos que nem nós já mostramos. Fazendo isso você vai achar que o ponto crítico é:
E bora pros exercícios!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp157-1
Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.
Passo 1
Vamos primeiro escrever o sistema com ele pediu, pra isso vamos ter que criar uma variável . De forma que.
Como , o sistema será.
Passo 2
Agora temos que achar os pontos críticos, pra isso vamos igualar e a zero. Então.
De cara a gente já sabe que a coordenada vai ser 0, mas a corrdenada do nós vamos ter que analisar um pouco.
Para termos o seno sempre igual a zero a gente ai ter que lembrar aquele conhecimento de trigonometria que diz.
Então os pontos críticos vão ser
Resposta
Exercício Resolvido #2
Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp157-3
Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.
Passo 1
Para escrever como um sistema autônomo plano temos primeiro que criar uma variável . De forma que.
Como , o sistema ficará no seguinte formato.
Passo 2
Para acharmos os pontos críticos temos que igualar e a zero. Sendo assim.
De cara a gente já vê que a coordenada do nosso ponto crítico é zero. Vamos analisar a segunda equação com
Logo e o ponto crítico será .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp157-5
Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.
Passo 1
Para escrever como um sistema autônomo temos que primeiro criar uma variável . De forma que.
Como , o sistema ficará no seguinte formato.
Passo 2
Para acharmos os pontos críticos temos que igualar e a zero. Sendo assim.
Já dá pra perceber que a coordenada do ponto crítico vai ser zero. Pra acharmos a coordenada teremos que trabalhar aquela segunda equação ainda.
Disso nós tiramos que
Logo teremos
Resposta
Assim os nossos pontos críticos serão.