EDO de Ordem Superior
Teoria
Introdução
Neste tipo vamos falar de EDO’s que envolvem derivadas de ordem maior que . Não tem mistério nisso e a gente vai te ajudar com qualquer coisa, fique tranquilo. Para o que segue, você precisa se lembrar que:
Ou seja, a transformada de uma derivada de ordem vai ser:
Agora, diferente da para ordem dois, além de saber e , você também vai ter que conhecer .
Para ordem , algo bem semelhantes:
Vai ter que saber também . Viu? É só seguir o padrão. O grau de vai diminuindo um a um e a ordem da derivada de no ponto zero vai aumentando na mesma proporção. Depois do primeiro termo, todos os sinais são negativos também.
EDO de ordem superior
Essa belezinha aí em cima, somado com o que a gente já viu, é tudo que a gente precisa para resolver as EDOs que a gente quer nesse tipo. Não acredita? Então segue comigo que eu te mostro.
Vamos resolver a seguinte EDO:
Vamos aplicar Laplace em cima dela, com fizemos até aqui:
Como a transformada de Laplace é linear:
Só aplicar a fórmula que a gente relembrou agora pouco e lembrar da transformada de e da derivada de ordem 1:
Sendo e substituindo as condições iniciais do problema, que são nulas:
Isolando o :
Agora, temos achar a inversa de e teremos o . Aplicando frações parciais, obtemos que:
Então:
Vimos em transformadas inversas tradicionais que é a inversa da primeira é e a da segunda é o nosso querido amigo, o . Então:
Viu? Sem traumas...
EDO de ordem superior
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 173, exemplo 2
Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:
Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:
Substituindo na equação, temos:
Sim, a equação ficou enorme, mas não se desespere! Muitos termos vão sumir, você vai ver : )
Passo 2
Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar
Como , , e , temos:
Passo 3
Agora vamos decompor a expressão que encontramos em frações parciais, para podermos reconhecer a partir de . Vamos fazer isso com calma!
- Fatorar o denominador. Temos:
- Igualar a expressão de à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos. Como assim? Olha só:
- Fazer o MMC dessas frações, juntá-las ao mesmo denominador.
- Agora, partindo do princípio que essas duas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes das frações parciais:
- Agora que já temos os coeficientes e basta reescrever as frações que criamos.
O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Como temos grau 2 em , o numerador dessa fração deve ser (grau 1). Nas outras frações, temos grau 1 no denominador e grau zero no numerador.
Vamos juntar os termos pelos graus de .
Como o denominador já é o mesmo, temos
Agora vamos por partes! Vamos igualar cada coeficiente das potências de na esquerda e na direita. Como assim? Olha só:
Temos, então:
Passo 4
Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função pela sua transformada. Vamos colocar esses coeficientes do numerador em evidência:
Nós já vemos que as duas primeiras frações lembram a transformada de da exponencial e a última lembra a transformada do seno. Temos o seguinte:
Então, podemos reescrever essa expressão como:
Então, é exatamente o que está dentro dos colchetes, não é? Temos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2010 - 3
Resolva o problema de valor inicial abaixo, expressando a solução em termos de uma convolução com a função , a qual é uma função contínua arbitrária definida no intervalo :
Dica:
Passo 1
A primeira coisa a fazer é aplicar a transformada de Laplace:
Como:
Então:
Já que as condições iniciais são nulas, sendo :
Além disso:
E, chamamos:
Assim, tudo vai ficar:
Passo 2
Vamos agora isolar esse afim de obter sua inversa:
Separando isso aí:
Separamos em duas para facilitar na hora de achar a inversa.
Passo 3
Temos que:
Pela dica da questão:
Agora vamos achar a inversa disso. Temos que:
A fração à direita é a transformada de deslocada uma unidade para à direita. Então:
Da mesma forma:
Para a última, temos o seno:
A exponencial de constante que multiplica essas transformadas indica que a transformada inversa está deslocada e multiplicada por um degrau. Assim:
Passo 4
Agora vamos tentar achar a inversa da segunda parte, :
Vimos que:
E que a inversa disso é:
Também sabemos que:
Então temos o produto de transformadas e sabemos a inversa de cada fato. Com isso, podemos achar a inversa desse produto usando o teorema da convolução:
Passo 5
Juntando tudo até agora:
O problema pediu para deixar a resposta na forma de uma integral convolução, então esse é o resultado.