Sistemas de EDO
Teoria
Introdução
Sistemas de EDO são como sistemas de equações normais. Ao invés de termos uma única variável a determinar, temos duas ou mais com o mesmo número de equações independentes. Vamos ver como isso tudo fica na prática?
Sistemas de EDO
Vamos pensar no exemplo abaixo:
Parece complicado? É menos do que você imagina. Vamos começar fazendo a mesma coisa que a gente fez até agora: vamos aplicar Laplace em tudo:
Sabemos que:
Substituindo:
Como
A gente vai resolver isso da mesma forma que resolvemos um sistema normal, só que buscando determinar e !
Substituindo na primeira equação e sabendo que :
Assim:
Mas como as raízes de são e , então podemos reescrever:
Então:
Cortando:
E como já vimos:
Utilizando frações parciais, como já foi explicado:
Comparando os coeficientes dos polinômios:
Substituindo a segunda na primeira:
E:
Assim:
Assim, usando a transformada de que , chegamos:
Agora vamos para o para achar o . Já vimos que:
Usando frações parciais novamente:
Obtemos:
Ficamos então:
Finalmente:
Viu? É como resolver um sistema linear normal, e depois aplica o Laplace inverso para descobrir a função!
Passo a Passo para Sistema de EDO por Laplace:
- Aplicar Laplace à EDO;
- Resolver o sistema, encontrando e (não se esqueça de substituir os valores iniciais que o problema deu);
- Decompor a expressão de e se precisar;
- Reconhecer funções por suas transformadas;
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET – EDO – P2 Roberto Sá 2010 – 2
Para o sistema . Use Laplace e calcule .
Passo 1
Então o sistema é:
Passo 2
Ok, vamos aplicar Laplace no sistema:
Mas sabemos que
Utilizando as condições iniciais que ele deu:
Então simbora, substituindo isso no sistema:
Para facilitar, vamos chamar assim:
Assim fica:
Colocando e no lado esquerdo:
Sabemos que:
Assim fica:
Agora vou colocar o em evidência na primeira equação:
Substituindo isso na segunda equação:
Desenvolvendo:
Multiplicando tudo por :
Colocando em evidência:
Completando o Quadrado perfeito:
E também podemos abrir isso:
Viu? Nem ficou tão feio! ;D
Agora vou abrir em frações parciais:
Igualando os coeficientes:
Substituindo a equação na :
Assim:
Substituindo isso:
Passo 3
O paranauê ficou assim:
Agora temos que calcular a inversa de cada um:
Pro primeiro, faça divisão polinomial que você vai achar esse paranauê:
Então ficou:
Por fim:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Use a transformada de Laplace para resolver os sistemas abaixo:
Passo 1
Eita ferrou, esse tem segunda derivada, é diferente do exercício feito na teoria??? Não! Mesma coisa! Vamos ver:
Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:
Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:
Passo 2
Substituindo esses paranauês no sistema:
Ae é mesma coisa do outro, resolver isso como se fosse um sistema normal, da segunda equação temos que:
Substituindo na primeira:
Aplicando frações parciais:
Daí temos que:
Substituindo a equação 2: ( junto com a informação de que na equação 1:
Eu sei que dava pra ter cortado , mas queria mostrar a resolução de um sisteminha se tivesse 3 variáveis, assim deu pra ver mais coisas!
E com isso temos que :
Assim ficou:
E também
Passo 3
Agora é só olhar e procurar pela inversa, nesse caso já vimos essas transformadas, né?