Sistemas de EDO
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução
Sistemas de EDO são como sistemas de equações normais. Ao invés de termos uma única variável a determinar, temos duas ou mais com o mesmo número de equações independentes. Vamos ver como isso tudo fica na prática?
Sistemas de EDO
Vamos pensar no exemplo abaixo:
Parece complicado? É menos do que você imagina. Vamos começar fazendo a mesma coisa que a gente fez até agora: vamos aplicar Laplace em tudo:
Sabemos que:
Substituindo:
Como
A gente vai resolver isso da mesma forma que resolvemos um sistema normal, só que buscando determinar e !
Substituindo na primeira equação e sabendo que :
Assim:
Mas como as raízes de são e , então podemos reescrever:
Então:
Cortando:
E como já vimos:
Utilizando frações parciais, como já foi explicado:
Comparando os coeficientes dos polinômios:
Substituindo a segunda na primeira:
E:
Assim:
Assim, usando a transformada de que , chegamos:
Agora vamos para o para achar o . Já vimos que:
Usando frações parciais novamente:
Obtemos:
Ficamos então:
Finalmente:
Viu? É como resolver um sistema linear normal, e depois aplica o Laplace inverso para descobrir a função!
Passo a Passo para Sistema de EDO por Laplace:
- Aplicar Laplace à EDO;
- Resolver o sistema, encontrando e (não se esqueça de substituir os valores iniciais que o problema deu);
- Decompor a expressão de e se precisar;
- Reconhecer funções por suas transformadas;