Transformada de Laplace da Função Degrau
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução
Olá, galerinha! Vamos ver agora qual é a Transformada de Laplace da Função degrau. Se lembra dela? Para você que disse não, aqui vai um resumo:
A função degrau é uma função que antes de certo valor , ela vale , e depois desse ela dá um salto virando . Tá confuso ainda? Olha o gráfico como é:
Repara que o traço vermelho forma uma escadinha. Por isso, ela se chama função degrau, justamente por ter o formato de um, saca? E como se representa essa função:
Ou seja, se eu tenho uma função , significa a que minha função vale zero até o e a partir dali ela valerá Repara que o gráfico é a mesma coisa do que desenhei acima. Eu só substitui o por ,
Mas agora que vem o mistério: Como eu faço a Transformada de Laplace disso?
Transformada de Laplace da Função Degrau
Então, galerinha, essa transformada é uma que a gente tem que memorizar. Então já adiciona ela naquela tabelinha esperta com outras transformadas.
Acabando com o mistério, a transformada de Laplace da Função Degrau é a seguinte,
Ficou um pouco abstrato né? Mas vamos ver agora como aplicar essa transformada ai com alguns exemplos:
Exemplo: Vamos calcular a Transformada de Laplace da função abaixo,
Repara que nosso é a diferença de duas funções degraus, multiplicado por dois. Você não precisa entender como é essa função para resolver a transformada, mas vou colocar o gráfico dela aqui embaixo só para você visualizar,
Ok, agora vamos ao que o problema pede que é a transformada! A gente pode aplicar as propriedades da Transformada de Laplace de boas aqui,
Pronto, agora vamos usar aquela formulazinha que eu pedi para você anotar na sua tabelinha,
Viu? Bem simples. Agora vamos complicar um pouco as coisas.
Transformada de Laplace de uma função multiplicada por um degrau unitário
Galera, agora, vamos multiplicar a nossa função degrau por outra função. Não entendeu? Olha o exemplo abaixo,
Exemplo: Como calcular a transformada de
Repara aqui que temos um degrau multiplicado pela função seno.
Então, galerinha, quando a gente tiver um caso assim, nós vamos usar a seguinte fórmula,
Agora vamos aplicar para o exemplo! A nossa parte degrau a gente consegue achar no nosso é o . Mas quem seria essa parte que apareceu dentro da minha transformada? Então, é o nosso . Então fica assim,
Mas repara que devemos escrever como sendo . Então ficaria assim,
No nosso caso , então podemos afirmar que . Então a transformada fica assim,
Essa fórmula é conhecida por teorema do deslocamento.
Então, galerinha, quando aparecer uma situação assim, faremos o seguinte passo a passo:
- A gente tem que ter um degrau num ponto e uma função deslocada de unidades (é escrever ). Tem que ser o mesmo !
- Achar a
- Transformar
- Multiplicar a transformada por
Vamos ver mais um exemplo para entender isso tudo melhor!
Exemplo: Calcule a Transformada de Laplace da função dada por
Passo 1: Vamos desenhar essa função:
Repara que nós temos uma função que vale zero até e, depois disso, vale . Temos, então, uma função degrau que começa em multiplicada por , ou seja:
Isso quer dizer que:
Antes de , temos
Depois de temos,
Repara que é exatamente o que o problema pediu. Beleza, precisamos agora calcular a transformada dessa função.
Passo 2: Encontrar a partir de .
Queremos então:
Lembra da nossa fórmula,
Substituindo,
Mas como achar Comparando a expressão do teorema com a que a gente achou, vamos ter:
Para se tornar ? Basta eliminar o daí:
Passo 3: Calcular
Lá da nossa tabelinha, sabemos que
Substituindo esse valor, temos:
Pronto! Resolvemos mais uma Transformada de Laplace.
Agora se você tiver pensando: “Mas e se a função não estiver deslocada para ?”
Ela tem que ser função de para você aplicar essa fórmula! Então, você terá que manipular a função para fazer aparecer esse .
Calma que vamos ver isso melhor nos exercícios, então corre lá!