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Transformada da Convolução

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Teoria

Introdução

Já vimos varias tranformadas, mas ainda tem algumas pra gente explorar. Aqui vamos falar de tranformada da convolução.

Respira! Você vai ver que vai ser tranquilo! Primeiro, vamos ver o que é o produto de convolução. A gente representa ele assim:

f * g

Repara que o símbolo do produto é um asterisco porque esse produto é diferente de uma multiplicação comum.

Tá, mas o que é isso?

A convolução é uma integral como abaixo:

f ( t ) * g ( t ) = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Imagina que temos que calcular o produto quando:

s e n t ⏟ f t * t ⏟ g ( t )

É muito importante que você escreva o produto de convolução com esse símbolo * , para não o confundir com o produto comum!

Para calcular esse produto, usamos essa definição:

∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Temos:

f τ = s e n τ

g t - τ = t - τ

Logo:

y = ∫ 0 t s e n τ t - τ d τ

Agora temos que resolver essa integral! Lembre-se de que estamos integrando em relação a τ .

t ∫ 0 t s e n τ d τ - ∫ 0 t τ s e n τ d τ

- t cos ⁡ τ τ = o τ = t - ∫ 0 t τ s e n τ d τ

- t cos ⁡ t + t - ∫ 0 t τ s e n τ d τ

A outra parte teremos que integrar por partes. Vamos definir o seguinte:

u = τ                     u ' = 1

v ' = s e n τ                         v = - cos ⁡ τ

Assim, temos:

- t cos ⁡ t + t - - τ cos ⁡ τ τ = 0 τ = t + ∫ 0 t cos ⁡ τ d τ

= - t cos ⁡ t + t + t cos ⁡ t - 0 - s e n τ τ = 0 τ = t

sen ⁡ t * t = t - sen ⁡ t

Assim que resolvemos o produto da convolução.

E como calcula a transformada disso?

Mais uma pra gente colocar lá na tabela:

L f t * g t = L f t   .   L { g t }

Só? Isso mesmo, basta calcular a tranfomada das duas funções e fazer o produto.

Por exemplo:

L sen ⁡ t * t = L sen ⁡ t ⋅ L t

Temos que:

L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

E:

L t = 1 s 2

Então:

L sen ⁡ t * t = L sen ⁡ t ⋅ L t = 1 s 2 + 1 ⋅ 1 s 2 = 1 s 2 ( s 2 + 1 )

Simples né? Para te ajudar nos exercícios, é bom saber também algumas propriedades do produto da convolução.

Propriedades da convolução

De cara já te adiantamos que:

  • f * g = g * f (comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto de convolução);
  • f * g 1 + g 2 = f * g 1 + f * g 2 (distributiva);
  • f * g * h = f * g * h (associativa);
  • f * 0 = 0
  • f * δ = f

Essa última é a única não muito intuitiva. O elemento neutro do produto de convolução não é o número 1 , como no produto comum. Ou seja:

f * 1 ≠ f

O “elemento unitário” do produto de convolução é a delta de Dirac δ ( t ) .

Só isso mesmo, partiu exercícios!

E como calcula a transformada disso?

Propriedades da convolução

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - Exame 2013 - 2ª

Calcule a convolução de f t = 2 t e g t = s e n   t .

Passo 1

Para calcular essa convolução, usamos a definição:

∫ 0 t 2 t - τ sen ⁡ τ d τ

Ué, não seria:

∫ 0 t 2 τ sen ⁡ t - τ d τ

Tanto faz, jovem, escolhemos a que for mais conveniente. Vamos pegar a primeira mesmo.

Passo 2

∫ 0 t 2 t - τ sen ⁡ τ d τ = ∫ 0 t 2 t sen ⁡ τ d τ - ∫ 0 t 2 τ sen ⁡ τ d τ

Vamos trabalhar cada integral separadamente

Passo 3

Dá uma olhada que aqui estamos integrando em relação a τ , então t é uma constante e sai da integral assim como o 2:

∫ 0 t 2 t sen ⁡ τ d τ = 2 t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = - 2 t cos ⁡ τ 0 t = - 2 t cos ⁡ t + 2 t  

Passo 4

Para a segunda integral, usamos a integração por partes com:

u = 2 τ v = - cos ⁡ ( τ ) d u = 2 d τ d v = sen ⁡ τ d τ

Assim:

∫ 0 t 2 τ sen ⁡ τ d τ = u v 0 t - ∫ 0 t v d u = - 2 τ cos ⁡ τ | 0 t + 2 ∫ 0 t cos ⁡ τ d τ =

- 2 τ cos ⁡ τ + 2 s e n τ 0 t = - 2 t cos ⁡ t + 2 s e n t

Juntando as integrais, chegamos ao resultado final. Fique atento ao sinal:

f t * g t = - 2 t cos ⁡ t + 2 t + 2 t cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t

f t * g t = 2 t - 2 s e n t

Resposta

f t * g t = 2 t - 2 s e n t

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 362-11.

Encontre a transformada de Laplace da função a seguir sem resolver a integral:

L ∫ 0 t τ e t - τ d τ ( s )

Passo 1

Olhando a integral dá para perceber que se trata da convolução de:

t * e t

Uma vez que:

t * e t = ∫ 0 t τ e t - τ d τ

Passo 2

O problema pede a transformada dessa convolução, mas não precisamos integrar nada, pois, pelo teorema da convolução:

L f t * g t = L { f ( t ) } ⋅ L { g ( t ) }

Ou seja:

L ∫ 0 t τ e t - τ d τ = L t * e t = L { t } ⋅ L { e t }

Essas são transformadas fundamentais que já estudamos:

L t = 1 s 2

L e t = 1 s - 1

Então:

L ∫ 0 t τ e t - τ d τ = 1 s 2 ( s - 1 )

Resposta

L ∫ 0 t τ e t - τ d τ = 1 s 2 ( s - 1 )

Exercício Resolvido #3

Calcule a transformada de Laplace F s = L { f ( t ) } .

f t = ∫ 0 t cos ⁡ τ t - τ d τ

Passo 1

Dá uma olhada nessa integral, repare que:

∫ 0 t cos ⁡ τ f t - τ d τ = cos ⁡ ( t ) * f ( t )

Reconheceu o integral de convolução? Certo, agora como fazemos ela desaparecer?

Vamos chamar esse produto de y :

f = cos ⁡ ( t ) * t

Se y é igual ao produto de convolução, então, sabemos que:

L y s = L cos ⁡ t s . L t ( s )

L y s = s s 2 + 1 . 1 s 2 ( s )

O processo inverso ao que fizemos nos outros exercícios.

Bom, disso, concluímos que:

L ∫ 0 t cos ⁡ τ f t - τ d τ s = F s = 1 s ( s 2 + 1 )

Simples, né? Essa já é a resposta!

Resposta

F s = 1 s ( s 2 + 1 )

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