Transformada de Função Multiplicada por t^n
Teoria
A gente viu lá atrás que a transformada de sendo um número inteiro positivo qualquer é:
Mas e quando está multiplicando uma função qualquer? Tipo:
Transformada de
Se a gente aplicar a definição de transformada e ficar aqui um tempinho fazendo a demonstração, vamos ver que a ideia pra fazer essas transformada é:
Onde .
Repara que o expoente do é o mesmo expoente desse que a gente vai multiplicar e também é a ordem da derivada que a gente vai usar. Então olha aqui a regrinha geral:
Então vamos lá! Se a gente quiser calcular a transformada de Laplace de , primeiro a gente calcula a transformada do segundo fator:
E usa nossa fórmulinha:
É tem que derivar ali 3 vezes. Deixa eu te contar um segredo:
Então vai ficar:
Simples assim. Agora, partiu exercícios!
Transformada de t n f ( t )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2010 - 1a
Calcule a transformada de Laplace da função:
Dica:
Passo 1
Queremos calcular:
Como a transformada é linear:
Vamos calcular as transformadas uma a uma.
Passo 2
Pelas transformadas tradicionais:
Passo 3
Passo 4
E essa?
Temos que usar o que gente aprendeu nessa teoria. A transformada de
Assim, para:
Temos:
Lembre-se que é a derivada da transformada, não a transformada da derivada. Não vai derivar o seno e calcular a transformada do cosseno. Primeiro a gente transforma o seno e então deriva!
Passo 5
Lembrando que
Juntando tudo então:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 393-13.
Calcule:
Passo 1
Queremos calcular:
Gezuis, eu não sei como calcular transformada de integral? Como viver? Calma jovem, você não precisa calcular transformada de integral nenhuma. Essa integral é bem calculável.
Passo 2
Olhe só:
Então vai ficar, já que a transformada é linear:
Passo 3
Então, vamos calcular uma a uma. Pelas transformadas tradicionais:
Passo 4
Agora, para:
Temos que lembrar que:
Para a nossa transformada queremos:
Então, juntando tudo: