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Delta de Dirac

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Teoria

Pode ser que a gente precise calcular a transformada de funções que assumem um valor muito alto muito rápido, essas funções são chamadas de funções impulso.

Calma! Pensa assim: tem um carrinho parado. Então, no tempo t = 2 s você dá um empurrão forte no carrinho. O que é o empurrão? Uma força que age no carrinho quase que instantaneamente, essa é a ideia do impulso. Representamos essas funções através do Delta de Dirac que, para o nosso caso, teria a seguinte notação:

δ ( t - 2 )

Podemos pensar no delta de Dirac da seguinte forma:

δ t - a = 0 ,     t ≠ a ∞ ,     t = a

Esse ponto a é o tempo em que você aplicou a força!

Ah, mas isso não é uma função! Você tem razão, isso se chama distribuição. Mas, convencionou-se a chamar o delta de função.

Uma propriedade legal desse tal de delta de Dirac é essa aqui:

∫ - ∞ ∞ δ ( t - a ) d t = 1

Transformada do Delta

Tá, mas e como vamos calcular a transformada desse Delta de Dirac? Opa! Mais uma linha para a nossa tabelinha de transformadas. Anota essa aqui:

L δ t - c = e - c s

A fórmula ficou bem simples, não é? Por exemplo, se quisermos calcular:

L δ t + 2

Nesse caso:

c = - 2

Logo:

L δ t + 2 = e 2 s

E se quisermos calcular

L δ t - 5

Nesse caso:

c = 5

Logo

L δ t - 5 = e - 5 s

Fique atento! Repara que o sinal da exponencial sempre vai ser o mesmo da função do delta, não confunda isso!

Outra coisa que pode aparecer pra você é o Delta de Dirac multiplicado por uma função f . Tipo assim:

f ( t ) δ ( t - c )

Nesse caso a transformada será:

L f ( t ) δ ( t - c ) = f ( c ) e - s c

Então por exemplo:

L ( 5 t + 3 )   δ ( t - 1 ) = f ( 1 ) e - s

Em que:

f t = 5 t + 3

f 1 = 8

L ( 5 t + 3 )   δ ( t - 1 ) = 8 e - s

Essa parte é bem simples! Partiu exercícios!

Transformada do Delta

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - P2 2013.1 - 2ª

Calcule a transformada de Laplace da “função” f t = 2 δ t - π .

Passo 1

Temos aqui a função impulso ou Delta de Dirac. Por tabela a transformada dela é:

L δ ( t - t 0 ) = e - s t 0

Passo 2

Por comparação entre o passo 1 e o enunciado a gente tem que t 0 = π

L δ ( t - π ) = e - π s

Passo 3

Finalmente, pela linearidade:

L 2 δ t - π = 2 L δ t - π

L 2 δ t - π = 2 e - π s

Resposta

L 2 δ t - π = 2 e - π s

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Calcule a transformada de Laplace da “função” f t = 3 cos ⁡ t δ t - π .

Passo 1

Parece fácil, né? Vamos relembrar como é a transformada de uma função multiplicada pelo impulso:

L f ( t ) δ ( t - t 0 ) = f ( t 0 ) e - s t 0

Passo 2

Por comparação entre o passo 1 e o enunciado a gente tem que t 0 = π e que f t = cos ⁡ t

L cos ⁡ t δ ( t - π ) = cos ⁡ π e - π s = - e - π s

Passo 3

Finalmente, pela linearidade:

L 3 cos ⁡ t δ ( t - π ) = 3 L cos ⁡ t δ ( t - π )

L 3 cos ⁡ t δ ( t - π ) = - 3 e - π s

Resposta

L 3 cos ⁡ t δ ( t - π ) = - 3 e - π s

Exercícios de Livros Relacionados

Use a transformada de Laplace e (7) para resolver y ' ' + 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t . δ ( t - 3 π ) Sujeita a y 0 = 1 e y ' 0 = - 1
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' - 7 y ' + 6 y = e t + δ t - 2 + δ ( t - 4 ) ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
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