Transformada inversa de s^n

Teoria

Depois de ver tanta transformada, será que a gente já tem o que é preciso pra resolver:

Puts, perai, não temos ainda como achar esse cara! Pô, um tão simples, e ainda assim sem solução? Relaxa gafanhoto, aqui a gente vai ver como resolver ele. Pra começar, queremos achar tal que:

Belezita, por onde começar? Que tal modificar esse pra ele ganhar uma cara de algo que a gente conheça? Saca só:

Parece besteira, mas isso ajuda muito! Afinal, sabemos que:

Então na prática, o que temos é:

Opa opa, produto de transformadas? Isso tem cara de integral de convolução! Logo:

Caramba, já tamos chegando em algum lugar em! Daí em diante a gente pode puxar a definição da convolução mesmo, e saca só o que acontece:

Usado nosso querido e amado teorema fundamental do cálculo, podemos derivar os dois lados em relação a e achar:

E ta na mão galera! Achamos a a função cuja transformada da !

Transformada inversa de potências de s

Agora você provavelmente está pensando: se eu sei a transformada inversa de , será que sei a de , , etc.? Se você apostou que sim então é o seu dia de sorte! Vamos manter a mesma ideia, só que dessa vez tentar achar tal que:

Oras, se ainda tivermos em mãos a ideia da convolução:

E galera, dai em diante não muda muita coisa! Repetimos a definição da convolução e o teorema fundamental do cálculo:

E logo:

Bem, deu pra ver que se quiséssemos achar pra os procedimentos seriam os mesmos. Podemos generalizar então para:

Transformada inversa de potências de s

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Calcule

Passo 1

Fala galera, bora começar? Antes de mais nada, vamos lembrar de uma propriedade bacana:

Pois bem, isso parece um pouco com nossa questão, né não? Vamos comparar:

Show, isso significa que:

Ou seja:

Fechando com chave de ouro:

E logo:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Prove que:

Passo 1

Essa propriedade do Delta de Dirac é bem tranquila de provar se a gente lembrar da seguinte propriedade também:

Como isso ajuda a gente? Bem, da uma olhada na propriedade:

Tem um solto com expoente e, ao mesmo tempo, temos um sinal de menos. Bem, isso aí é um bom sinal de que podemos usar pr obter:

Passo 2

Bem, agora que temos uma relação que aparece um termo de com expoente , que tal tentarmos fazer resultar em algo cuja transformada inversa conhecemos. Bem, seja

Vamos ter:

Show de bola, achamos . Mas eaí? Pra gente terminar meeesmo, precisamos lembrar que lá no início desse passo definimos:

Logo:

Po, se tem duas definições diferentes e as duas tão certas, basta igualar elas! E ai sim achamos a relação do enunciado:

Resposta

Ao definirmos , temos que
Ao definirmos , temos que se usarmos a propriedade das transformadas
Ao igualarmos as duas definições de encontradas, obtemos a propriedade do enunciado

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Calcule

Passo 1

Beleza, olha só. Pra questões desse tipo, com polinômios sobre polinômios, as chances de dar pra simplificar são enormes. Sendo assim, vamos olhar pro denominador que é mais simples. Veja que se , então o denominador assume o valor . O que será que acontece com o numerador usando o mesmo ?

Opa, então é uma raiz do polinômio no numerador.

Passo 2

Você pode estar se perguntando: como isso ajuda a gente? Bem, veja só, se sabemos uma raiz do polinômio, podemos dividir ele usando Briot Ruffini (BR). Montando a matriz BR temos: